Koeffizienten von x^n

25.09.2010, 18:43

OVetS

Koeffizienten von x^n

Hallo!

Die Aufgabe lautet, Bestimmen sie den Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3-5x}{(1-3x)(1-x)} \end{eqnarray*}$

leider habe ich momentan noch keinen richtigen ansatz.. hoffe ihr helft mir.

25.09.2010, 19:11

wisili

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RE: Koeffizienten von x^n
Gemeint ist wohl: Bestimmen sie den Koeffizienten von x^n in der Taylorentwicklung.
Stichwörter: Partialbruchzerlegung, geometrische Reihe.

26.09.2010, 12:14

OVetS

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RE: Koeffizienten von x^n
Komme mit Partialbruchzerlegung auf

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3-5x}{(1-3x)(1-x)} = \frac{2}{x-\frac{1}{3} }-\frac{3}{x-1} \end{eqnarray*}$

und jetzt? sehe da nicht wirklich eine geometrische reihe

26.09.2010, 12:17

wisili

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RE: Koeffizienten von x^n
Diese Zerlegung ist falsch.

Richtig ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} + 2\,\cdot \frac{1}{1-3x} \end{eqnarray*}$

26.09.2010, 12:33

OVetS

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RE: Koeffizienten von x^n
mit deiner zerlegung seh ich es auch...

das wäre dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} + 2\,\cdot \frac{1}{1-3x} =\sum\limits_{k=0}^\infty x^{n} + 2 \cdot \sum\limits_{k=0}^\infty (3x)^{n} \end{eqnarray*}$

aber wo liegt mein fehler? ich rechne doch bei der partialbruchzerlegung erst die nullstellen des nenners aus... und die wären doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

26.09.2010, 12:40

wisili

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RE: Koeffizienten von x^n
Die Nenner-Nullstellen waren nicht falsch, den Doppelbruch hätte man später noch loswerden können. Ohne deine Rechnung kann ich nicht erraten, wo der Fehler liegt.

26.09.2010, 12:54

OVetS

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$\begin{eqnarray*} \frac{3-5x}{(1-3x)(1-x)} = \frac{A\cdot (x-1)+B\cdot (x-\frac{1}{3}) }{(1-3x)(1-x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3-5x= A\cdot (x-1)+B\cdot (x-\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=-2; B=-3 \end{eqnarray*}$

26.09.2010, 13:19

wisili

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Ja, stimmt. Aber 1-3x ist nicht x-1/3, deshalb ist deine Zerlegung oben falsch.

26.09.2010, 13:36

OVetS

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gerechnet habe ich so...komme aber nicht aufs richtige unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{3-5x}{(x-\frac{1}{3})(x-1)} = \frac{A\cdot (x-1)+B\cdot (x-\frac{1}{3}) }{(x-\frac{1}{3})(x-1)} \end{eqnarray*}$

26.09.2010, 14:15

wisili

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Zitat:

Original von OVetS
gerechnet habe ich so...komme aber nicht aufs richtige unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{3-5x}{(x-\frac{1}{3})(x-1)} = \frac{A\cdot (x-1)+B\cdot (x-\frac{1}{3}) }{(x-\frac{1}{3})(x-1)} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{3-5x}{(1-3x)(1-x)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3-5x}{(x-\frac{1}{3})(x-1)} \end{eqnarray*}$

26.09.2010, 14:40

OVetS

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wie kommt man darauf?

das widerspricht irgendwie der rechnung die ich erst gerechnet habe

26.09.2010, 20:10

wisili

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Nochmal:

Zitat:

Original von OVetS
$\begin{eqnarray*} \frac{3-5x}{(1-3x)(1-x)} = \frac{A\cdot (x-1)+B\cdot (x-\frac{1}{3}) }{(1-3x)(1-x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3-5x= A\cdot (x-1)+B\cdot (x-\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=-2; B=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3-5x}{(1-3x)(1-x)} = \frac{A\cdot (x-1)+B\cdot (x-\frac{1}{3}) }{(1-3x)(1-x)} = \frac{-2\cdot (x-1)-3 \cdot (x-\frac{1}{3}) }{(1-3x)(1-x)} = \frac{2\cdot (1-x)+ (1-3x) }{(1-3x)(1-x)}= \frac{2}{1-3x}+\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

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