gliedweise Potenzreihen multiplizieren

25.09.2010, 20:58	ToboTheRibbler	Auf diesen Beitrag antworten »
gliedweise Potenzreihen multiplizieren Hallo zusammen, ich sitze gerade vor dem Kapitel der Potenzreihen und versuche einige Aufgaben zu lösen. Teilweise gelingt es mir, blei folgendem habe ich allerdings große schwierigkeiten. Es geht um die Gliedweise Multiplikation von Potenzreihen. Google brachte mich da auf die Cautchy Produktformel, die ich an einem Bespiel auch erfolgreich getestet habe. Allerdings war bei der nächsten Aufgabe das Erfolgserlebnis auch schon gleich wieder dahin, weil es da nicht funkionierte. Kann man diese Produktformel bei jeder Potenzreihe anweden, oder gibt es da bestimme kriterien? Hier mal zur Aufgabe: $\begin{eqnarray} f(x)&=& e^{-2x} \cdot \cos(x) \end{eqnarray}$ Potenzreihen: $\begin{eqnarray} <br /> e^{-2x}&=& 1- \frac{x^1}{1} + \frac{x^2} {2} - \frac{x^3} {6}\ ... \\<br /> \cos(x) &=& 1- \frac{x^2} {2} + \frac{x^4} {24} - \frac{x^6} {720}\ ... \end{eqnarray}$ Formel: $\begin{eqnarray} <br /> (a_{n}) \cdot (a_{n}) &=& (a_{0}b_{0})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}) \ ... \end{eqnarray}$ Als erstes habe ich mich gefragt, wie ich es berechnen soll, da ja keine Glieder b_1, b_3, b_5 in der cos(x) Reihe vorhanden sind. Deshalb hab ich einmal probiert diese einfach als 0 zu nehmen. Ich kam leider nicht auf das richtige Ergebnis. Auch wenn ich die Glieder so wie sie sind von links nach rechts nehme, komme ich nicht auf: $\begin{eqnarray} <br /> f(x)&=& 1-2x+ \frac{3}{2}x^2- \frac{1}{3}x^3-\frac{7}{24}x^4+ \ ... \end{eqnarray}$ Bei einer Beispielaufgabe im Buch, hat diese Formel gut funktioniert. Allerdings wurde dort glaube ich nicht mit dieser Formel gerechnet. Es wird nicht erklärt wie, deswegen blicke ich durch das Schema nicht ganz durch. Hab sie auch mal rangehängt. Vll könnt ihr mir ja erklären wie bei dieser Aufgabe gerechnet wurde. Ich hoffe dass, das mit dieser methode besser hin haut. Ich werd auch gleich schon mal ein Danke schön los, in der Hoffnung, dass Ihr mir da auf die Sprünge helfen könnt
25.09.2010, 21:23	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gliedweise Potenzreihen multiplizieren $\begin{eqnarray} <br /> \left( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} \right) \cdot \left( \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_n x^{n} \right) &=& (a_{0}b_{0}) \, x^{0} +(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}) \, x^{1}+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}) \, x^2 \ ... \end{eqnarray}$ Beim Ausmultiplizieren der linken Seite gibt es z.B. für $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ genau 3 Summanden.
26.09.2010, 08:34	ToboTheRibbler	Auf diesen Beitrag antworten »
das hilft mir irgendwie nicht weiter
26.09.2010, 09:30	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schrieb die Formel auf, weil mit dem $\begin{eqnarray} <br /> (a_{n}) \cdot (a_{n}) &=& (a_{0}b_{0})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}) \ ... \end{eqnarray}$ sicher nichts zu verstehen ist.

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