Diagonalisierbarkeit von Matrizen und Endomorphismen

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kabelsalat Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit von Matrizen und Endomorphismen
Meine Frage:
Im Zuge von Vorbereitungen auf eine Prüfung kann ich mir eine scheinbar simple Frage nicht so recht selbst beantworten. folgendes:

Meine Ideen:
jede matrix kann durch standardoperationen in treppen/stufenform und treppennormalform gebracht werden. folglich kann man jede nxn-matrix in eine diagonalmatrix umwandeln. dann stellt sich mir nun die frage, wie man anhand z.b. des charpol nachweisen kann, dass eine matrix nicht diagonalisierbar, sprich ähnlich zu einer diagonalmatrix, ist. ich hoffe, ihr versteht meine verwirrung und macht mich darauf aufmerksam, dass ich nur eine definition etwas ungenau verstanden habe.
vielen dank im voraus-

anne
gadreel Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich weis, kann man nicht jede quadratische Matrix in eine Diagonalmatrix umwandeln?
Und der Ende deines Satzes ist irgendwie merkwürdig.

Hier ein Auszug aus Wikipedia:

Ist eine Matrix A diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:


Man kann schon am charakteristischem Polynom feststellen, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn es in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Lehrer Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom zerfällt und für jeden Eigenwert die algebraische der geometrischen Vielfachheit entspricht. Lehrer



Zitat:
Man kann schon am charakteristischem Polynom feststellen, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn es in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

In dem Fall hat man es natürlich leicht. Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts (die Dimension des Eigenraums) ist zumindest , sonst wäre es kein Eigenwert.
Also ist die Bedingung hier trivialerweise erfüllt. Aber die Umkehrung gilt natürlich nicht!

Wenn ein Linearfaktor mehrfach auftritt, also die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts größer ist, genügt das char. Polynom nicht, um über Diagonalisierbarkeit zu entscheiden. Dann musst du die Dimension des zugehörigen Eigenraums bestimmen.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Matrix/ein Endomorphismus ist auch genau dann diagonalisierbar, wenn ihr/sein Minimalpolynom vielfachheitenfrei in Linearfaktoren zerfällt.

@Kabelsalat: Eine Ähnlichkeitstransformation ist nicht das selbe wie das Überführen einer Matrix in Zeilenstufenform durch Zeilen- oder Spaltenoperationen. Deshalb ist auch nicht jede -Matrix zu einer Diagonalmatrix ähnlich.
kabelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

@jester: danke, zu einem ähnlichen schluss bin ich auch gekommen. jetzt hat ihn eine menschenseele bestätigt ;o)

ich halte also fest: jede matrix kann in eine diagonalmatrix umgeformt werden, aber nicht jede matrix (bzw. abbildungsmatrix) ist zu einer diagonalmatrix ähnlich.

danke für eure bemühungen
gadreel Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm lies mal genau was da steht ... Wenn jede Matrix in eine Diagonalmatrix umgewandelt werden könnte, gebe es keine Kriterien zur Diagonalisierung.
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt immer darauf an, wie man "umwandeln" oder "umformen" verstehen möchte.
kabelsalat Auf diesen Beitrag antworten »

umformen = elementaroperationen verwenden = skalare vielfache von zeilen/spalten addieren, vertauschen von zeilen/spalten und multiplikation von zeilen/spalten

@gadreel: und genau darüber wunderte ich mich ja ;o)
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