Tensorprodukt

25.09.2010, 21:38	jacob17	Auf diesen Beitrag antworten »
Tensorprodukt Hallo zusammen Bin gerade dabei für meine LA Klausur zu lernen und bin gerade bei Tensorprodukten angekommen. Könnt ihr mir vielleicht einen guten Artikel oder sonst. empfehlen in dem das Thema recht anschaulich und gut dargestellt wird vielleicht mit Anwendungen. Im Moment kenne ich nur die Definition aber kann damit wenig anfangen. Vorallem frag' ich mich was das Ziel des Themas ist. Möchte ich so aus Bilinearformen lineare Abbildungen machen oder was steckt dahinter Und inwiefern kann man das in der Praxis anwenden? Viele Grüße jacob
26.09.2010, 11:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tensoren habe etwas enorm Geometrisches, man baut damit u.a. die Riemannsche Geometrie und als speziellen Anwendungsfall unser Einstein-Universum, das wiederum können wir Mathematiker ganz gut gebrauchen, um darin Mathematik zu betreiben. Tensorprodukte sind Vektorräume, die aufgrund ihrer Konstruktion universelle Abbildungseigenschaften haben (UAE). Allein aus diesen UAE lassen sich viele Aussagen herleiten. Anwendungen gibt es massenhaft in der Mathematik : Differentialgeometrie, Algebra, Zahlentheorie, ...
26.09.2010, 17:28	Gregor84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes garantiert es dir, dass du zu allen $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ -bilinearen Abbildungen $\begin{eqnarray} f : N_1 \times N_2 \to M \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ =Ring, und $\begin{eqnarray} N_1, N_2, M \end{eqnarray}$ seien $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ -Moduln) stets eine lineare Abbildung abelscher Gruppen von $\begin{eqnarray} N_1 \otimes N_2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ findest. Mathematisch ausgedrückt : $\begin{eqnarray} \text{Hom}_{\mathcal Ab}(N_1 \otimes N_2 ,M)=\text{Bil}_{R}(N_1, N_2; M) \end{eqnarray}$ , -d.h. die Homomorphismen abelscher Gruppen von $\begin{eqnarray} N_1 \otimes N_2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ entsprechen 1:1 den $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ -bilinearen Abbildungen von $\begin{eqnarray} N_1 \times N_2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Das Gleichheitszeichen besagt, dass es zwar nicht die "physisch" gleichen Objekte sind, aber dennoch gleich bis auf kanonische Isomorphie - insofern darf man hier ruhig von Gleichheit sprechen. Daher gilt übrigens auch : $\begin{eqnarray} \text{Hom}_{\mathbb Z}(N_1 \otimes N_2 ,M)=\text{Hom}_{R}(N_1, \text{Hom}_{\mathbb Z}(N_2, M) ) \end{eqnarray}$ Das Tensorprodukt zweier Moduln (bzw. Vektorräume) muss nicht immer kompliziert sein, z. B. gilt für teilerfremde Zahlen $\begin{eqnarray} l,k \end{eqnarray}$ für das Tensorprodukt $\begin{eqnarray} \mathbb Z/k \mathbb Z \otimes_\mathbb Z \mathbb Z/l \mathbb Z = 0 \end{eqnarray}$ Mit 0 ist hier der Nullmodul gemeint! Das kannst du ja mal zur Übung selbst beweisen. Der Beweis ist wirklich sehr einfach! Etwas schwieriger ist es, folgende Aussage zu beweisen: Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Ring, $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ -Modul und $\begin{eqnarray} \mathfrak a \subset R \end{eqnarray}$ ein Ideal. Dann gilt: $\begin{eqnarray} M \otimes _R R/\mathfrak a \cong M/\mathfrak a M \end{eqnarray}$ - der Beweis ist ohne Kenntnisse homologischer und kommutativer Algebra etwas schwierig, ansonsten kann man es mit einer exakten Folge lösen und die dann tensorieren, aber ich will darauf nicht weiter eingehen... Je mehr du mit dem Tensorprodukt arbeitest, desto weniger mysteriös wird es dir vorkommen. Das ist übrigens mit allen algebraischen Objekten so; anfangs versteht man sie noch nicht richtig, aber wenn man sich mit der Materie auseinandersetzt und z. B. Übungsaufgaben löst oder man konkret mit ihnen rechnet, z. B. auch mit speziellen CAS wie GAP / Magma /Kant etc., dann versteht man sie und kriegt ein Gefühl für "Natur" dieser Objekte. Eines will ich noch anmerken: Die Physiker verstehen bisweilen unter Tensoren und Tensorprodukten etwas anderes als Mathematiker! Also wundere dich nicht, wenn Physiker alle möglichen Dinge als Tensoren bezeichnen, die mit dem mathematischem Tensorbegriff nichts zu tun haben. Viele Grüße, Gregor (LMU München)
26.09.2010, 17:33	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft auch dieser Beitrag noch weiter.
26.09.2010, 23:47	jacob17	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten. Der gelinkte Beitrag gibt mir schon mal so einen groben Überblick der Thematik. Da ich bald mündliche Prüfung habe und wette dass Tensorprodukte drankommen wollte ich euch fragen ob ihr vielleicht eine Ahnung habt was man darüber denn abfragen könnte? Vielleicht kamt ihr selbst mal in den Genuss einer mündl. Prüfung Mehr als den Existenz und Eindeutigkeitsbeweis wird man wahrscheinlich in so kurzer Zeit nicht machen können, oder? jacob

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