Kovarianz der empirischen Verteilungsfunktion

26.09.2010, 12:08	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovarianz der empirischen Verteilungsfunktion Sei $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge von u.i.v. Zufallsvariablen (mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ) und $\begin{eqnarray} F_n (x; X_1, ..., X_n) : = \frac {1}{n} \sum \chi_{(- \infty, x]}X_i \end{eqnarray}$ die empirische Verteilngsfunktion. Folgende Gleichung wird in meinem Skript "bewiesen": $\begin{eqnarray} K( F_n (x) - F_n (y)) = \frac {1}{n} [ F( min(x,y)) - F(x)F(y) ] \end{eqnarray}$ Die Umformungen kann ich nachvollziehen. Am Ende erhält man jedoch die Gleicheit: $\begin{eqnarray} \mathbb E_F [F_n (x) F_n(y)] = \frac {1}{n} [F( min(x,y)) + (n-1)F(x)F(y) ] \end{eqnarray}$ Das entspricht doch nun offensichtlich nicht der obigen Gleichung. Da ich im Beweis kenen Fehler entdecken konnte nehme ich an, dass die 2. Gleichung stimmt. Liege ich da richtig ? Mich würde es allerdings wundern, wenn im Skript ein derart grober Fehler wäre
26.09.2010, 15:01	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz der empirischen Verteilungsfunktion Also ich hab keine Ahnung was das K sein soll (hoffe das K(a-b) = Cov(a,b) ist) aber subtrahier doch mal auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} F(x)F(y) \end{eqnarray}$ und zeige dass $\begin{eqnarray} E(F_n(x)) = F(x) \end{eqnarray}$
27.09.2010, 09:12	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Das K sollte, denke ich, für die Kovarianz stehen. Ganz klar geht das aus dem Text aber nicht hervor (wüsste aber nicht wofür es sonst stehen sollte). Oh da seh ich gerade, es sollte $\begin{eqnarray} K(F_n(x), F_n(y) ) \end{eqnarray}$ sein. Also eh so wie du meinen Fehler interpretiert hast Wo soll ich auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} F(x)F(y) \end{eqnarray}$ subtrahieren ? Mein Problem ist, dass die zuerst angeschriebene Gleichung bewiesen werden sollte, der Beweis aber die 2. Gleichung ergeben hat. Wie ich das sehe sind diese Gleichungen nicht äquivalent ...
27.09.2010, 13:06	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz der empirischen Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} E (F_n (x) F_n(y)) = \frac {1}{n} [F( min(x,y)) + (n-1)F(x)F(y) ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow E(F_n(x) F_n(y)) - F(x)F(y) = \frac {1}{n}[F( min(x,y)) + (n-1)F(x)F(y) - nF(x)F(y)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow E(F_n(x) F_n(y)) - F(x)F(y) = \frac {1}{n}[F( min(x,y)) - F(x)F(y)] \end{eqnarray}$ Jetzt noch zeigen dass $\begin{eqnarray} F(x)=E(F_n(x)) \end{eqnarray}$ und du hast auch auf der linken Seite den Kovarianztherm da $\begin{eqnarray} Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \end{eqnarray}$ Also für mich sind die beiden Gleichungen äquivalent.
27.09.2010, 16:14	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, hatte eine falsche Definition der Kovarianz im Kopf ( Das kommt davon wenn man sich 2 Wochen vor der Prüfung das erste mal ernsthaft mit dem Fach beschäftigt). lg

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