Beweis, vollständige induktion

09.11.2006, 09:37

Fliege

Beweis, vollständige induktion

ich habe ein problem mit einer aufgabe:

für eine menge M und eine natürliche zahl k bezeichnet man $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} M \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die menge aller teilmengen K von M mit $\begin{eqnarray*} \mid K \mid \end{eqnarray*}$ =k.

nun soll man zeigen, dass für jede nichtleere endliche menge m und jedes $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} M\\ k \end{pmatrix} \mid = \mid \begin{pmatrix} M \setminus \{x \} \\k-1 \end {pmatrix} \mid + \mid \begin{pmatrix} M \setminus \{x \} \\ k \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray*}$

ich habe absolut keine ahnung, wie ich das zeigen kann und mit was ich anfange...

09.11.2006, 12:09

Dual Space

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RE: Beweis, vollständige induktion

Zitat:

Original von Fliege
für eine menge M und eine natürliche zahl k bezeichnet man $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} M \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die menge aller teilmengen K von M mit $\begin{eqnarray*} \mid K \mid \end{eqnarray*}$ =k.

Ist das tatsächlich der exakte Wortlaut eurer Aufgabe?

Der Binomialkoeffizient ergibt die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer m-elementigen Menge.

Für eine Menge M ist $\begin{eqnarray*} \binom{M}{k} \end{eqnarray*}$ sinnlos und nicht definiert.

Edit (12:10): Sorry ... hab die Aufgabe jetzt verstanden. Sie stimmt doch so wie sie dasteht. Forum Kloppe

09.11.2006, 12:28

irre.flexiv

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Versuche erstmal rauszufinden was $\begin{eqnarray*} \left | \binom M k \right | \end{eqnarray*}$ ist. Noch ne andere Frage: Sollt ihr das mit vollständiger Induktion lösen, so wie es im Titel steht?

09.11.2006, 18:52

Fliege

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na was ist denn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} M \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
das ist die Menge aller Teilmengen K von M mit $\begin{eqnarray*} \mid K \mid = k \end{eqnarray*}$ .

wir sollen lediglich zeigen, dass es für jede nichtleere endliche menge M und jdes $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gilt.

ich habe keine ahnung. traurig

10.11.2006, 20:19

fliege8987

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kanns mir keiner erklären? Gott

10.11.2006, 20:29

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} {M\choose k} \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , die genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Elemente haben. Bei der Menge

$\begin{eqnarray*} M=\{1,2,3,4,5\} \end{eqnarray*}$

sind das für $\begin{eqnarray*} k=3 \end{eqnarray*}$ z.B. die Mengen $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{1,3,4\},\{1,3,5\},\{1,4,5\},\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,4,5\},\{3,4,5\} \end{eqnarray*}$ .

Wie viele sind das denn? Und wie kannst du das in Abhängigkeit von der Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ darstellen?

Gruß MSS

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