beweis von rechenregeln

09.11.2006, 10:06

juliana2

beweis von rechenregeln

habe anlaufprobleme mit meiner aufgabe:

$\begin{eqnarray*} M1 \cap M2 \subseteq M1 , M1 \cap M2 \subseteq M2 \end{eqnarray*}$ .

wie zeige ich das?

so?
$\begin{eqnarray*} M1 = x(x \in M1), M2 = x(x \in M2), \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M1 \cap M2 = x( x \in M1 \wedge x \in M2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M1 \cap M2 \subseteq M1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall x(x \in M1 \Rightarrow x \in M2) \end{eqnarray*}$

09.11.2006, 10:55

Mazze

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Es geht schon so ähnlich das die Beziehungen gelten ist dir auch klar oder?

Der Schritt hier muss lediglich etwas ausführlicher Aufgeschrieben werden.

$\begin{eqnarray*} M1 \cap M2 = \{x : x \in M1 \wedge x \in M2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M1 \cap M2 \subseteq M1 \end{eqnarray*}$

bzw, da musst Du eigentlich nur noch sagen das wenn x in M1 ist und in M2 dann ist es sicher auch in M1 für jedes x, damit gilt die Beziehung Augenzwinkern

Den letzten Schritt brauchst Du überhaupt nicht.

09.11.2006, 19:06

juliana2

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das war's schon? so kurz und knapp?
wie schreibe ich das mathematisch richtig auf, dass wenn x in M1 ist und in M2 dann ist es sicher auch in M1 für jedes x???

10.11.2006, 20:18

juliana2

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wäre dann der letzte schritt so richtig mathematisch aufgebschrieben:

$\begin{eqnarray*} \forall x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \in M1 \wedge x \in M2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M1 \cap M2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = x \in M1 \wedge x \in M2 \Rightarrow M1 \cap M2 \subseteq M1 \end{eqnarray*}$

11.11.2006, 11:12

Mazze

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Also vorne es es gilt $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ genau dann wenn

$\begin{eqnarray*} x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$

Das sollte Dir klar sein Augenzwinkern

.

Sei nun $\begin{eqnarray*} x \in M_1 \cap M_2 \end{eqnarray*}$ (1) dann ist aber auch sicher $\begin{eqnarray*} x \in M_1 \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} M_1 \cap M_2 \subseteq M_1 \end{eqnarray*}$ .

Kurz und bündig. Mehr ist nicht zu tun. Da wir x beliebig gewählt haben, gilt es für alle. Ich vermute mal ihr habt grade erst gelernt was die Mengen aussagenlogisch bedeuten deshalb könntest Du für den Schritt(1) noch schreiben

$\begin{eqnarray*} M_1 \cap M_2 \Leftrightarrow \{ x : x \in M_1 \wedge x \in M_2 \} \subseteq M_2 \end{eqnarray*}$

den es gilt $\begin{eqnarray*} x \in M_1 \wedge x \in M_2 \Rightarrow x \in M_1 \end{eqnarray*}$

Diese Folgerung könntest Du auch per Wahrheitstafel beweisen wenns Dir immernoch zu schnell geht.

Übrigens sollte die klar sein das die Umkehrung nicht gilt Augenzwinkern

. Die Sachen sind halt sehr Elementar.

11.11.2006, 12:21

juliana2

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wie zeige ich das dann bei:

a)
$\begin{eqnarray*} M1 \subseteq M2 \Rightarrow M1 \cap M3 \subseteq M2 \cap M3 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} M1 \subseteq M2 \Rightarrow M1 \cup M3 \subseteq M2 \cup M3 \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} M1 \subseteq M2 \Rightarrow M1 \setminus M3 \subseteq M2 \setminus M3 \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} M1 \subseteq M2 \Rightarrow M3 \setminus M1 \subseteq M3 \setminus M2 \end{eqnarray*}$ ???

12.11.2006, 11:03

juliana2

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wie fange ich denn hier an?

12.11.2006, 22:55

Mazze

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Ganz genauso.

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M_1 \cap M_3 \end{eqnarray*}$ dann liegt x M1 und M3, da es aber in einem Teil von M1 liegt es garantiert auch in einem Teil von M2, da M1 Teilmenge von M2 ist. Es liegt also in M3 und M2. Und schon stehts da. Die anderen Sachen gehen genauso.

14.11.2006, 13:00

juliana2

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also wäre das dann bei c)

sei $\begin{eqnarray*} x \in m1 \cup M3 \end{eqnarray*}$ dann liegt x in m1 oder m3. da m1 aber teilmenge von m2 ist, ist x auch in m2. somit ist dann $\begin{eqnarray*} x \in m2 \cup m3 \end{eqnarray*}$ teilmenge von $\begin{eqnarray*} m1 \cup m3 \end{eqnarray*}$ da x element von m2 ist und in m2 garantiert auch x enthält.

?

14.11.2006, 23:34

Mazze

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Zitat:

da m1 aber teilmenge von m2 ist, ist x auch in m2

Das muss heissen:

Da M1 aber Teilmenge von m2 ist x in M2 oder M3. Augenzwinkern

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