Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen

26.09.2010, 15:05

matheloser12

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Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Aufgabe und weiß nicht wie ich weiterkommen kann.
Der Querschnitt eines Wasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis und hat die Fläche von 4m².Wie sind die Maße zu wählen, damit der Umfang möglichst klein wird?
Das Rechtecke hat die Länge d(bzw. 2r) und die Breite a

Meine Ideen:
Die Zielfunktion lautet: U= 2a+ 2*(2r)+ pi *2r/2
Die Nebenbedingung 4=2r *a + pi*r²
a= 8-pi*r²/2r
Die endgültige Zielfunktion ist: 16-pi*r²/2 + 4r + pi*2r/2

Das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich Zahlen aus dem Nenner hole, damit die Gleichung auch richtig ist. Kann mir jemand helfen?

26.09.2010, 15:26

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Ich bin leider weder mit deiner Zielfunktion noch mit deiner Nebenbedingung einverstanden.

Du hast bei beiden Gleichungen Fehler eingebaut...

26.09.2010, 15:35

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
warum? die zielfunktion besteht aus 2a +2*( 2r) weil es die Formel für den Umfang des Rechteckes ist und pi*2r/ 2 weil es die Formel des Umfangs des Halbkreises ist.
warum falsch? Und die Nebenbedingung ist 4= 2r *a + pi*r^2/2
das ergibt a= 8-pi*r^2/2r

26.09.2010, 15:46

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen

Zitat:

Original von matheloser12
warum? die zielfunktion besteht aus 2a +2*( 2r) weil es die Formel für den Umfang des Rechteckes ist und pi*2r/ 2 weil es die Formel des Umfangs des Halbkreises ist.

Aber du hast kein geschlossenes Rechteck vorliegen.

Zitat:

Original von matheloser12
Und die Nebenbedingung ist 4= 2r *a + pi*r^2/2

Ja, jetzt hast du die Formel für die Kreisfläche halbiert, nun stimmt es. Freude

Freude

Zitat:

Original von matheloser12
das ergibt a= 8-pi*r^2/2r

Nein, nicht wirklich. Du solltest mal Schritt für Schritt umformen.

26.09.2010, 19:01

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
das hab ich auch auf meinem Blatt gemacht.
Dann lautet die Zielfunktion: 2a +1d+ pi*d:2
die nebenbedingung: d= 8-pi*r^2:a
und die zielfunktion U= 2a+ 8-pi*r^2/a + pi*8-pi*r^2/a /2
Ist das richtig? Und wie soll ich diesen "doppelnenner" wegkriegen?

26.09.2010, 19:09

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Du solltest nicht neben dem Radius auch noch den Durchmesser einführen. Das führt zu unnötiger Verwirrung.

Zitat:

die nebenbedingung: d= 8-pi*r^2:a

Was ist das denn jetzt? verwirrt

verwirrt

Du hattest die NB doch schon richtig aufgeschrieben.

Fassen wir zusammen, was wir haben:

Zielfunktion (HB): u = 2a + 2r + pi·r Freude

Freude

NB: 4 = 2r·a + pi·r²/2 Freude

Freude

Alles andere, was du aufgeschrieben hast, stimmt nicht.

Forme nun die NB nach einer der Variablen um und setze den Ausdruck in die HB ein.

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26.09.2010, 19:28

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
d ist 2r.
ok, dann lautet die NB:4 = 2r·a + pi·r²/2
und nach Umformungen: 8= 2*r*a+pi*r^2
8-pi*r^2= 2r*a
8-pi*r^2 :2r= a

Und dann muss ich in die endgültige Zielfunktion für a diese Gleichung einsetzen:
U= 2*( 8-pi*r^2/ 2r) + 2r+ pi*2r/2
Und wie komme ich weiter? Ich weiß nicht, was ich mit den Nennern machen muss unglücklich

unglücklich

26.09.2010, 19:41

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Du machst fortlaufend einen Fehler, den ich dir mal an einem Beispiel zeige:

a + b = c · d | : d

a/d + b = c => So rechnest du, aber das stimmt nicht!

Es muss so heißen: a/d + b/d = c

In unserem Fall:

4 = 2r·a + pi·r²/2 | -pi·r²/2

4 - pi·r²/2 = 2r·a | : 2r

Jetzt müssen beide (!) Terme auf der linken Seite der Gleichung geteilt werden! Auf der rechten Seite muss natürlich auch geteilt werden, da bleibt einfach das a übrig.

smile

smile

26.09.2010, 19:47

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Kappiere ich nicht unglücklich

unglücklich

Um die 2 aus dem Nenner rauszuholen multipliziere ich mit der 2 und dann habe ich 8= 2r*a+ pi*r^2
und dann mache ich -pi*r^2 um das auf der linken seite zu haben.
dann hab ich 8- pi*r^2= 2r*a
Als nächstes bringe ich 2r auf die linke Seite, damit a alleine steht:
a= 8-pi*r^2/2r

Und kürzt sich ein r weg? dass, ich für a habe: 8-pi*r/2
Ich finde schon, dass es richtig sein sollte...

26.09.2010, 19:54

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen

Zitat:

Original von matheloser12
a= 8-pi*r^2/2r

Wenn, dann musst du es eingeklammert schreiben: a= (8 - pi*r^2)/2r Lehrer

Lehrer

Und du kannst nichts kürzen, weil bei der 8 kein r steht.

Jetzt setze die NB mal in die HB ein.

smile

smile

26.09.2010, 20:03

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Aber 8-pi*r^2/ 2r schreibe ich als Bruch, so dass die 2r im Nenner unten steht.

$\begin{eqnarray*} \frac{8-pi*r^2}{2r} \end{eqnarray*}$

aber wenn ich das dann in Klammern setze dann ist die endgültige Zielfunktion:
2* ( 8-pi*r^2):2r + 2r + pi*2r/2

26.09.2010, 20:07

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Ja Freude

Freude

, aber ich würde den letzten Term kürzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

u = 2* ( 8-pi*r^2):2r + 2r + pi*r

smile

smile

26.09.2010, 20:13

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
dann lautet die endgültige Zielfunktion:
2* (8-pi*r^2) : 2r + 2r+ pi*r
= (16- 2pi*r^2): 2r+ 2r+ pi*r
= 8r- pi*r + 2r + pi*r
= 10r ? Da stimmt was nicht...
Dann ist die 1.Ableitung 10=0
und da ist was falsch...

26.09.2010, 20:14

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Du hast ein kleines Detail übersehen:

Die 8 wird durch r geteilt, nicht mit r malgenommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.09.2010, 20:21

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Dann ist die Gleichung der endgültigen Zielfunktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{8}{r} - pi*r+ 2r+ pi*r \end{eqnarray*}$

Und dann leite ich es einmal ab, um die Extrema suzurechnen...
U'(x)= $\begin{eqnarray*} - \frac{8}{r^2} - pi+ 2+pi \end{eqnarray*}$ ?

26.09.2010, 20:27

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Du darfst gerne vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} u(r) =\frac{8}{r} - pi*r+ 2r+ pi*r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(r) =\frac{8}{r}+ 2r \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und in der Tat:

$\begin{eqnarray*} u'(r) =-\frac{8}{r^2}+ 2 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist jetzt einfach.

smile

smile

26.09.2010, 20:56

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Nachdem ich r ausgerechnet habe ( r=2)
muss ich a ausrechnen.
Wie mach ich das richtig?

26.09.2010, 21:01

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
r = 2 ist richtig. Freude

Freude

Jetzt setzt du das r in die umgestellte NB ein:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{8-pi*r^2}{2r} \end{eqnarray*}$

smile

smile

26.09.2010, 21:04

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Und da hab ich jetzt ein Problem.
Soll ich erst 8- pi*2^2 machen und dann durch 2r ( also 4) teilen, oder wie genau?
Ich komme dann auf verschiedene werte, es kommt drauf an, wie ich in welcher reihenfolge mache...

26.09.2010, 21:14

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Ich habe gerade etwas entdeckt:

Unser a ist falsch. Ich habe mich durch deine Schreibweise verwirren lassen. Daher schreibe ich mal die Rechnung auf, so wie ich sie gemacht habe:

HB: u = 2a + 2r + pi·r

NB: 4 = 2r·a + pi·r²/2

Umstellung der NB:

4 = 2r·a + pi·r²/2 | - pi· r²/2

4 - pi· r²/2 = 2r·a | : 2r

2/r - pi·r/4 = a

In Schönschrift: $\begin{eqnarray*} a =\frac{2}{r} - \frac{\pi*r}{4} \end{eqnarray*}$

26.09.2010, 21:17

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Es war also nach meiner Darstellung: $\begin{eqnarray*} a =\frac{2}{r} - \frac{\pi*r}{4} \end{eqnarray*}$

Nach deiner Darstellung wäre es: $\begin{eqnarray*} a =\frac{8-\pi*r^2}{4r} \end{eqnarray*}$

Es ist leicht zu erkennen, dass die Lösung r = 2 nicht stimmen kann.

Also rechne ich mal weiter: u = 2a + 2r + pi·r

Ich setze ein:

$\begin{eqnarray*} u = 2*\frac{8-\pi*r^2}{4r} + 2r + \pi*r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = \frac{8-\pi*r^2}{2r} + 2r + \pi*r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = \frac{4}{r} - \frac{\pi*r}{2} + 2r + \pi*r \end{eqnarray*}$

26.09.2010, 21:27

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
oh, dann stimmt die endgültige zielf. nicht.
eine frage: du hast den ganzen term
$\begin{eqnarray*} \frac{pi*r^2}{2} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite gebracht.
dann haben wir auf der seite
4- $\begin{eqnarray*} \frac{pi*r^2}{2} \end{eqnarray*}$ = 2r *a
a= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{r} - \frac{pi*r^2}{4} \end{eqnarray*}$
Darf man nicht erst die 2 auf die Seite bringen, indem man 4 *2 macht( also, so wie wir es am anfang gemacht haben?)

26.09.2010, 21:36

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Ich habe eine Frage:
Zweite Zeile: Wo kommt die 8 her?

26.09.2010, 21:39

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Ja, man kann auch die ganze Gleichung mit 2 multiplizieren, so wie du es gemacht hast.

Allerdings hast du dabei vergessen, dass jeder Term multipliziert werden muss und ich habe das in dem Gewusel leider übersehen, dass du es einmal nicht gemacht hast.

Ich hatte geschrieben:

Zitat:

4 = 2r·a + pi·r²/2

Und dein Ausdruck war (das Gleiche, mit 2 vervielfacht):

Zitat:

8= 2r*a+ pi*r^2

Da war mir nicht aufgefallen, dass es 8= 4r*a+ pi*r² heißen müsste...
Stattdessen habe ich mit dem falschen Ausdruck weiter gerechnet... Hammer

Hammer

Wir sollten aber zusehen, dass wir die Aufgabe noch zu Ende bekommen.

smile

smile

26.09.2010, 21:45

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
ok, darüber muss ich später mal reflektieren und es vertiefen.
also, wenn die endgültige funktion, die du ausgerechnet hast stimmt, dann ist die erste ableitung
$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{r^2} - \frac{2*pi*r}{2}+ 2+ pi \end{eqnarray*}$
Ist das richtig? Und wie könnte man die 2 aus dem Nenner rausholen, die stört mich ein bisschen...

26.09.2010, 21:52

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Die Zielfunktion ist etwas anders, als du denkst:

$\begin{eqnarray*} u(r) = \frac{4}{r} - \frac{\pi*r}{2} + 2r + \pi*r \end{eqnarray*}$

Es steht kein r² im zweiten Bruch, sondern ein r

Die Ableitung ist daher:

$\begin{eqnarray*} u'(r)= - \frac{4}{r^2} - \frac{\pi}{2}+ 2+ \pi \end{eqnarray*}$

26.09.2010, 21:59

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Achso. ich weiß schon, wo ich nen fehler gebaut habe.
ich habe jetzt r ausgerechnet. r= 1.10
stimmt das?

26.09.2010, 22:02

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Ich habe r = 1,0584... m

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{\frac{4}{2+\frac{1}{2} \cdot \pi } } \end{eqnarray*}$

26.09.2010, 22:12

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
ich habe 1,10
vllt. würde das gerundet passen.
als gleichung habe ich das so gerechnet:
$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{r^2} - \frac{pi}{2} + pi= -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - 4- \frac{pi}{2} + pi= -2r^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - 2,429= -2r^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r^2= -1,21 \end{eqnarray*}$
r=1,10

26.09.2010, 22:24

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Wieder der gleiche Fehler:

Du nimmst nicht die gesamte (!) Gleichung mit einem Faktor mal, wenn du multiplizierst. Ich schreibe es dir mal auf, wie es richtig ist:

$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{r^2} - \frac{\pi}{2} + \pi= -2~|~ \cdot r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( - \frac{4}{r^2}- \frac{\pi }{2} + \pi\right)\cdot r^2= \left(-2\right)\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 4- \frac{\pi\cdot r^2 }{2} + \pi \cdot r^2= -2r^2 \end{eqnarray*}$

Warum fasst du eigentlich nicht die beiden pi zusammen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.09.2010, 22:32

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
ich wollte r^2 auf der andereen seite haben und deshalb dachte ich, dass ich so r^2 auf die andere seite habe und dass das dann automatisch wegist.
die pi's hab ich nicht zusammengefasst, weil das eine pi/2 ist und das verwirrt mich.
ich habe jetzt dasselbe wie du raus smile

smile

Danke für deine Hilfe, du hast viel Zeit für mich geopfert und ich hab das jetzt kappiert smile

smile

ich weiß schon, wie ich weiterrechnen soll smile

smile

Nochmal danke smile

smile

26.09.2010, 22:34

sulo

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Zu den pi: ziehe mal von einem ganzen ein halbes ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Lösung: Ich habe r = a (und hoffe sehr, dass es stimmt).

Viel Erfolg beim Weiterrechnen.

Wink

Wink

26.09.2010, 22:43

matheloser12

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RE: Minimalen Umfang eines Wasserkanals berechnen
Danke smile

smile

Und schönen Abend noch

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