Erzeugendensystem Basis

09.11.2006, 13:57	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem Basis Aufgabe: Bilden die vier Vektoren eine Basis von V=Q^4? a= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ d= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie prüfe ich ob das ein Erzeugendensystem ist? Muss ich gucken ob ich alle vier Einheitsvektoren darstellen kann? (1,0,0,0) usw. Gibt es ne einfachere Möglichkeit? Muss man irgentetwas bei Q^4 beachten?
09.11.2006, 14:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem Basis Sind die Vektoren linear abhängig oder unabhängig? Beachte, der Skalarkörper ist Q!
09.11.2006, 14:34	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Die vektoren sind linear unabhängig. Ich hab das ganz normal wie in R gerechnet. Faktoren wie $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ können bei der Aufgabe ja eigentlich nicht vorkommen weils keine Quadrate gibt, oder nicht?
09.11.2006, 14:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt jetzt es gibt keine Quadrate? Was heißt, ich hab es wie in R gerechnet? Wenn, dass musst du so argumentieren: Da die Vektoren auf dem R^4 linear unabhängig sind, gibt es keine $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3,\lambda_4 \neq 0 \end{eqnarray}$ so dass sich die Vektoren nicht trivial zum Nullvektor kombinieren lassen. Daher kann es auch dem Unterraum Q^4 keine nichttriviale Kobination des nullvektors mit diesen Vektoren geben.
09.11.2006, 14:57	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok verstanden. Aber wie prüfe ich jetzt ob das ein Erzeugendensystem ist?
09.11.2006, 15:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche dimension hat den der raum, der von 4 linear unabhängigen Vektoren erzeugt wird? Von welchen Vektrorraum ist das hier ein Unterraum?
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09.11.2006, 15:22	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben leider den Dimensionsbegriff noch nicht eingeführt... Denke mal von R^4
09.11.2006, 15:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann musst du zeigen, dass sich jedes Element von Q^4 als Linerkombination der 4 linear unabhängigen Vektoren darstellen lässt.
09.11.2006, 15:48	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
also gleichungssystem = (x,y,z,w) [statt (0,0,0,0) wie bei lineare unabhängigkeit] setzen und dann nach den lamdas auflösen, richtig?
09.11.2006, 15:54	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
ja und zeigen, das koeffizienten in Q liegen!
09.11.2006, 16:15	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen dank

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