Einfaches AWP Problem

27.09.2010, 13:24

inseljohn

Einfaches AWP Problem

Hallo,

habe mal eine kurze Frage, da ich mir grad unsicher bin.

Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswerproblems $\begin{eqnarray*} y'=2\sqrt{y} , y(1)=1 \end{eqnarray*}$

So, beschäftige mich noch nich sooo lange mit DGL's. Habe jetzt den TDV Ansatz gewählt und hab jetzt folgendes.

$\begin{eqnarray*} y'=2\sqrt{y} \frac{dy}{dx}=2\sqrt{y} \int \frac{dy}{\sqrt{y}}=\int 2*dx ?? =2x+c1 \end{eqnarray*}$

So, eigentlich hat meine Frage nur was mit dem integrieren zu tun Big Laugh

Wäre das so richtig?
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{y}} => \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} =>\int y^{\frac{-1}{2}} \int y^{\frac{-1}{2}} => -\frac{2}{3}y^{\frac{-3}{2}} \end{eqnarray*}$

Danke

27.09.2010, 13:26

schultz

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nein, du musst den exponenten um 1 erhöhen und nicht um 1 verringern

27.09.2010, 13:35

inseljohn

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ahh...ich idiot.. deswegen kam mir das schon so komisch alles vor Big Laugh

peinlich

also
$\begin{eqnarray*} \int \frac{dy}{\sqrt{y}} =\int 2*dx 2y^{\frac{1}{2}}=2x+c1 y^{\frac{1}{2}}=x+c1 y=\sqrt{x+c2} y(1)=1=\sqrt{x+c2} =\sqrt{1+c2} 1=\sqrt{1+c2} =>1=1+c2 c2=0 y=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

wäre super nett, wenn jemand was dazu schreiben könnte =)

27.09.2010, 14:30

saz

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Zitat:

Original von inseljohn
$\begin{eqnarray*} y^{\frac{1}{2}}=x+c1 y=\sqrt{x+c2} \end{eqnarray*}$

Da hast du dich vertan. Umkehrfunktion von der Wurzel ist nicht Wurzelziehen Augenzwinkern

(Und: Bei sowas macht sich einsetzen und kurz nachrechnen immer gut. Da wäre dir das sicher auch aufgefallen, dass es so nicht stimmen kann.)

27.09.2010, 14:47

Mathboon

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2y^{\frac{1}{2}}=2x+c1 y^{\frac{1}{2}}=x+c1 y=\sqrt{x+c2} \end{eqnarray*}$

Haben nicht beide Schritte einen Fehler? Liege ich gerade total daneben oder fällt die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ hier nicht richtig weg?

27.09.2010, 15:08

schultz

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@mathboon:
er hat hier auf beiden seiten durch zwei geteilt...korrekterweise müsste er sein c1 im ersten schritt schon umbenennen, ansonsten ist das aber nicht falsch.

27.09.2010, 16:25

Mathboon

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Achso, d.h. $\begin{eqnarray*} c2 = \frac{c1}{2} \end{eqnarray*}$ und:
$\begin{eqnarray*} 2y^{\frac{1}{2}}=2x+c1 y^{\frac{1}{2}}=x+c2 \end{eqnarray*}$

Hätte ich mir denken können, danke Augenzwinkern

28.09.2010, 16:27

inseljohn

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uhh, das war ja echt doof.

also ich hab jetzt auch:

$\begin{eqnarray*} y^{\frac{1}{2}} =x+c2 y=x^2+c2^2 y(1)=1=x^2+c2^2 \end{eqnarray*}$

aber dann komm ich ja auch C2=0
stimm das?

28.09.2010, 16:38

saz

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Nicht ganz.

$\begin{eqnarray*} y^{\frac{1}{2}} = x+c_2 \Rightarrow y = (x+c_2)^2 = x^2 + 2c_2 \cdot x + c_2^2 \end{eqnarray*}$

Du hast aber so gesehen Glück: Denn das Ergebnis bleibt das gleiche.

28.09.2010, 16:51

inseljohn

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Danke für deine Antwort =)

Oh man, mir fehlen aber auch noch überall mathematische grundkentnisse.übel.

ok, also ist c2=0
und somit lautet das endergebnis der Aufgabe also nur

y=x^2

kann das stimmen?

28.09.2010, 16:54

saz

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Ja.