Definitionsmenge und Lösungsmenge bestimmen bei 2 Unbekannten

27.09.2010, 13:45	Guest1707	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitionsmenge und Lösungsmenge bestimmen bei 2 Unbekannten Hallo! Wir sollen folgende Aufgabe so berechnen, dass wir die Defintionsmenge und Lösungsmenge angeben können. $\begin{eqnarray} \frac{x-4a}{x+2a} + 2= \frac{x^{2}+ 8a^{2} }{x^{2}+4ax+4a^{2} } \end{eqnarray}$ Zwischenschritt durch multiplizieren mit (x+2a)²: (x-4a) * (x+2a)+2*(x+2a)²= x²+8a² wenn man das alles zusammenfasst, komme ich zu: x²+3ax-4a²=0 Und ab dann komme ich nicht mehr weiter... prinzipiell habe ich die Grundform für die pq-Formel, aber ich weiß nicht, wie ich das mit dem "a" machen soll, damit ich die Defintions- und Lösungsmenge angeben kann. Meine Vermutung für die Definitionsmenge wäre, dass diese eine reele, positive Zahl sein sollte inkl. 0... Könnt ihr mir sagen, ob das richtig ist und wie ich die Lösungsmenge bestimmen kann?
27.09.2010, 14:07	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definitionsmenge gibt alle Zahlen an, die man für x einsetzen darf. Das heißt es dürfen keine Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden, oder es darf nicht durch 0 geteilt werde usw. Dazu musst du dir die Ausgangsgleichung anschauen. Die Definitionsmenge ist dann von a abhängig. Mach das mal. Die resultierende Gleichung $\begin{eqnarray} x^2+3ax-4a^2=0 \end{eqnarray}$ ist schonmal richtig. Nun berechne die Lösungen in Abhängigkeit von a (mit der pq-Formel wie du richtig gesehen hast). Dazu musst du speziell die Diskriminante beachten, warum?
27.09.2010, 14:18	Guest1707	Auf diesen Beitrag antworten »
die pq-formel wäre ja quasi: $\begin{eqnarray} - \frac{3a}{2} \pm \sqrt{\frac{25a²}{4} } \end{eqnarray}$ die Diskriminante darf niemals negativ sein, weil man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann -> a muss positiv oder gleich null sein. Bei der Lösungsmenge bin ich gerade ziemlich am schleudern... wenn ich die Ausgangsgleichung zusammenfasse habe ich dort: $\begin{eqnarray} \frac{4ax+12a²}{(x+2a)²} \end{eqnarray}$ wenn man das nach x auflöst, wäre es x=-3a ist das zufällig richtig als Lösungsmenge?
27.09.2010, 14:26	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine Lösungen. Aber Achtung: Du sagst $\begin{eqnarray} a \geq 0 \end{eqnarray}$ , was ist denn mit $\begin{eqnarray} a < 0 \end{eqnarray}$ ? Wir da die Diskriminante denn negativ? Aus der Lösungsformel folgt dann die Lösungsmenge! Was du da sonst noch gemacht hast ist mir gerade ein Rätsel. Wo kommt denn auf einmal $\begin{eqnarray} \frac{4ax+12a²}{(x+2a)²} \end{eqnarray}$ her? Zudem ist das plötzlich ein Term, wir hatten doch eine Gleichung. Die Definitionsmenge hast du nun auch völlig ignoriert.
27.09.2010, 14:36	Guest1707	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{4ax+12a²}{(x+2a)²} \end{eqnarray}$ sollte =0 sein (vergessen hinzuschreiben.. sry...) ich hatte dort in der ausgangsgleichung das +2 mit x+2a erweitert, um das zusammen zu fassen... dann hab ich alles auf eine Seite geholt und so jeweils erweitert, dass diese Gleichung entstanden war.... war anscheinend nicht ganz richtig hab ganz übersehen, dass das a unter der Wurzel quadriert war... also darf man jede reelle Zahl verwenden... Die Lösungsmenge entsteht dann in Abhängigkeit zu a... weil wir a aber nicht genau definieren könne, kann man für x ja auch keinen genauen Wert herausfinden... oder irre ich mich da? Wie schreibe ich das, wenn ich sagen will, dass x nicht genau definiert werden kann wegen a?
27.09.2010, 14:44	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das war in der Tat falsch. Da hast du irgendwo einen Fehler gemacht. Genau, $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Durch Wurzelziehen kann man erstmal den Ausdruck weiter vereinfachen: $\begin{eqnarray} x_{1,2} = - \frac{3a}{2} \pm \sqrt{\frac{25a²}{4} } = - \frac{3a}{2} \pm \frac{5a}{2} = \frac{-3a\pm 5a}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 = -4a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = a \end{eqnarray}$ Du siehst also, die Lösungen sind abhängig von a. Damit ergibt sich als Lösungsmenge $\begin{eqnarray} L = \{a, -4a\} \end{eqnarray}$ Hast du das verstanden? Anschließend mach dich mal an die Definitionsmenge. (Sollte man normalerweise vorher machen, also bevor man die Gleichung löst)
Anzeige

27.09.2010, 15:05	Guest1707	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss dann ja nur noch einsetzen und bekomm dann auf beiden Seiten das gleiche heraus... also ist die Definitionsmenge unendlich... meine güte... so simpel und so ein großes brett vorm kopf.... DANKE =)
27.09.2010, 17:15	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das ist falsch. Das was du gemacht hast, ist die Lösung überprüft... Schlag bitte auf Wikipedia den Begriff "Definitionsmenge" nach! Setz mal in die Gleichung x = -2a ein und sag mir was dabei passiert.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »