Komplement der Cantormenge offen? |
| 27.09.2010, 19:01 | Looking4help | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Komplement der Cantormenge offen? Ich habe eine Funktion gesucht, die überabzählbare viele Unstetigkeitsstellen besitzt, und trotzdem Riemann-integrierbar ist. Die habe ich mit der charakteristischen Funktion über der Cantormenge C gefunden, d.h. f(x)=1 if x in C, 0 sonst. Genutzt wird dabei, dass f(x) auf dem Komplement von C stetig ist und (jetzt kommt meine Frage) dieses Komplement offen ist. Aber ich scheitere daran, diese Offenheit zu zeigen, dabei ist sie ja notwendig, oder? Ich kann zeigen, dass das die Cantormenge keine inneren Punkte besitzt (Beweisidee: nehme an, es gibt innere Punkte, dann sind die wegen der Abgeschlossenheit von C in einem offenen Intervall enthalten, das also positives Maß hat; allerdings hat die Cantormenge Maß 0 und somit keine Teilmengen mit positivem Maß). Folgt das damit bereits? Wenn ja: wieso? 
Die Offenheit ist ja notwendig, damit ich obere und untere Darbouxsummen /Ober- und Untersummen bilden kann und nicht wie bei der Dirichletfunktion wegen der Dichtheit von Q in R unterschiedliche Werte für die Summen erhalte bzw. damit ich sagen kann, dass eben im Gegensatz zur Dirichletfunktion überhaupt auf dem Komplement zu C stetig ist. Ich würde mich über Hilfe freuen. Vielen Dank für eure Unterstützung
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| 27.09.2010, 19:34 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Cantor-Menge kann geschrieben werden als wobei eine endliche Vereinigung von kompakten Intervallen ist und aus erhalten wird, indem man jeweils die offenen mittleren Drittel aller Intervalle rausnimmt. (einfach so, wie die Cantor-Menge halt konstruiert wird). Damit ist C der Schnitt von abgeschlossenen Mengen und somit selbst abgeschlossen. |
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| 27.09.2010, 19:38 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Komplement der Cantormenge offen? Ergibt sich die Offenheit des Komplements der Cantormenge nicht direkt aus dem Konstruktionsprinzip? Jeder Punkt des Komplements ist irgendwann weggenommen worden. Und weggenommen werden immer offene Intervalle. Also ist jeder weggenommene Punkt innerer Punkt des Komplements. |
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| 27.09.2010, 20:22 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es vielleicht sogar noch einfacher ersichtlich. 
(obwohl es im Prinzip einfach die komplementäre Version meiner Aussage ist) |
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| 28.09.2010, 02:50 | Looking4help | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hatte ein Problem damit, dass wenn ich alle rationalen Zahlen auf dem Einheitsintervall betrachte, das Komplement ja auch nicht offen ist. Inzwischen nach ein bisschen Schlaf seh ich aber ein, dass das dann wohl daran liegt, dass Q eine unendliche Vereinigung ist und wir dieses "Problem" bei der Cantormenge deshalb nicht haben. Danke für eure Hilfe! |
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| 28.09.2010, 07:45 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast du Recht, die Vereinigung von unendlich vielen abgeschlossenen Mengen muss nicht mehr abgeschlossen sein! |
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