extremstelle, komme nicht weiter

09.11.2006, 15:00

walthermath

extremstelle, komme nicht weiter

Hallo!

Ich untersuche gerade folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3-3x+2}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

nun bin ich gerade bei der Berechnung der Extrema und in der Aufgabenstellung steht als Hinweis:
Verwenden Sie zur Bestimmung der Extremstellen eine Restbruchdarstellung der 1.Ableitung.

meine erste Ableitung sieht nun so aus (mit der Quotientenregel gebildet):
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+3x^2+3x-7}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

Mal angenommen, dass die jetzt richtig ist...
dann setze ich die erste ableitung ja gleich null.

x³+3x²+3x-7=0

bekomme ich ja dann....nun, normalerweise würde ich hier die Polynomdivision anwenden....aber das hab ich schon bei den Nullstellen gemacht...und das und die Tatsache, dass solch ein Hinweis gegeben wurde, verführt mich zu der Annahme, dass die Extremstelle womöglich auch anders zu ermitteln ist.
Könnt ihr mir hier vielleicht weiterhelfen?

09.11.2006, 15:23

klarsoweit

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RE: extremstelle, komme nicht weiter

Zitat:

Original von walthermath
meine erste Ableitung sieht nun so aus (mit der Quotientenregel gebildet):
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+3x^2+3x-7}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

Zunächst mal ich habe das als Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{x^3+3x^2+3x-7}{(x+1)^3} \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du x³+3x²+3x-7=0 lösen. Das würde ich ganz normal mit Polynomdivision machen.

09.11.2006, 17:21

walthermath

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hupsala! Das habe ich auch als Ableitung! Habs nur falsch eingegeben!
Gut...dann die Polynomdivision schon wieder...:-(
und was soll dann der Hinweis?

09.11.2006, 17:40

walthermath

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AHA! Ich glaube ich weiß jetzt wie das gemeint ist.
Und zwar wird bereits bei der Ausgangsfunktion die Polynomdivision angewendet. Und neben der Erkenntnis, dass die Asymptote die Gleichung g(x)= x-2 hat....vereinfacht man noch nebenbei die Ausgangsfunktion zu:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-2 + \frac{4}{x^2+2x+1} \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x-2 + \frac{4}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$
oder aber auch

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-2 + 4(x+1)^{-2} \end{eqnarray*}$

und dann geht das alles mit der ersten und zweiten Ableitung gleich viel einfacher Big Laugh