Binomialkoeffizient

27.09.2010, 20:34

Thomas00

Binomialkoeffizient

Guten Abend miteinander!

Ich habe folgende Umformungen gemacht, bin aber bezüglich deren Richtigkeit unsicher. Könnte vielleicht jemand das Folgende kurz überfliegen?

$\begin{eqnarray*} (1+1) \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Herzlichen Dank!

27.09.2010, 21:02

René Gruber

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Nein, es ist falsch. Und zwar nicht nur einige der Zwischenschritte, sondern auch der Endwert. Der sollte nicht $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n+1}{k} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \end{eqnarray*}$ lauten.

27.09.2010, 21:12

Thomas00

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Ich korrigiere:

$\begin{eqnarray*} (1+1) \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.09.2010, 21:52

wisili

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$\begin{eqnarray*} (1+1) \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 1+\sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+1= 1+\sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix}+1=\sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schneller ist:
$\begin{eqnarray*} (1+1) \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2 \cdot 2^{n} = 2^{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.09.2010, 22:15

Thomas00

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Zitat:

Original von wisili
Schneller ist:
$\begin{eqnarray*} (1+1) \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2 \cdot 2^{n} = 2^{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Ausführung! smile

Das hier oben hatte ich eigentlich auch, aber da ich mir nicht sicher bin, ob ich das so lassen kann oder weiter ausführen sollte, ging ich mal auf Nummer sicher und wollte hier mein längerer Weg korrigieren lassen smile

--> herzlichen Dank!

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