Schwerpunkt eines "angeschnittenen" Kreises

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Santa Maria Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt eines "angeschnittenen" Kreises
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich will Volumen eines beliebigen Spindeltorus berechnen.
Dazu muss ich, meiner Vorstellung nach, nur die Grundfläche in einem Kreis mit entsprechendem Radius(R = Strecke vom Schwerpunkt der Grundfläche zur Rotationsachse) rotieren lassen.

Als Grundfläche stelle ich mir einen Kreis vor der durch eine Sehne abgeschnitten wird.
Wie ich die Fläche berechne weiß ich auch schon. Die Sehne stellt auch die Rotationsachse dar.

Nun hab ich zwar schon einige Ansätze ausprobiert, aber ich hab im Endeffekt keine Ahnung
wie ich den Schwerpunkt der Grundfläche berechnen kann.

Wie gesagt, so stell ich mir dass vor, verbessert mich bitte wenn's anderst ist^^

Meine Ideen:
Soviel hab ich mir bis jetzt denken können:
Der Ausgangskreis (r = 1) befindet sich in einem KoSy; Mittelpunkt M(0|0); die Sehne ist eine Parallele zur y-Achse.

1. Ich brauche eigentlich nur die x-Koordinate des Schwerpunktes, denn, da der Flächenanteil oberhalb und unterhalb der x-Achse gleich groß ist, ist ys = 0

2. xs müsste gleich bleiben wenn der kreis an der x-Achse halbiert wird. (Stimmt das?)
So kann man mit der Halbkreisformel rechnen.

3. Eine zur ersten Sehne k paralele zweiten Sehne s, die den angeschnittenen Halbkreis in zwei gleich große Hälften teilt, führt durch den Schwerpunkt.


Letzteres hab ich versucht via Integration zu lösen:



hab dann nach dem letzten Post in diesem Thread substituiertund umgeformt:
http://www.matheboard.de/archive/10781/thread.html


Und wenn ich dann die bekannten Werte (hab für k=0,99 eingesetzt um nah an den Wert eines rotierenden Kreises zu kommen; zur Selbstkontrolle) einsetzte komme ich auf:
= etwa 0,0300

Vielen Dank, für jeden Tipp oder Lösungsvorschlag =)
Santa Maria Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal in kurz:

Ich brauche einen Weg um den Schwerpunkt des oberen Teil des Kreises zu bestimmen:

Edit (mY+): Links zu externen Uploadseiten sind nicht erwünscht. Hänge statt dessen dein Bild im Beitrag an.

[attach]16151[/attach]
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, ich interpretiere deine Aufgabe richtig, daß du nämlich den Schwerpunkt des Kreissegments , das rechts von der Geraden (mit ) liegt, suchst.

Der Anfang deiner Überlegungen scheint mir richtig. Was du allerdings bei 3. meinst, verstehe ich nicht. Für die -Koordinate des Schwerpunktes brauchst du zunächst die Fläche des Segments , also



Dann gilt



Das letzte Integral bekommt man nach Fubini, wenn man außen über und innen über integriert. Und eine Stammfunktion liegt auf der Hand.

Die Sache mit der Halbierung durch die -Achse stimmt, macht die Rechnung aber nicht einfacher, da sich der Faktor in der obigen Formel wegkürzt.
Santa Maria Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich hoffe, ich interpretiere deine Aufgabe richtig, daß du nämlich den Schwerpunkt des Kreissegments , das rechts von der Geraden (mit ) liegt, suchst.

Der Anfang deiner Überlegungen scheint mir richtig. Was du allerdings bei 3. meinst, verstehe ich nicht. Für die -Koordinate des Schwerpunktes brauchst du zunächst die Fläche des Segments , also


Vielen Dank erstmal^^
Ich brauch eben den Schwerpunkt von der größeren Fläche, müsste ja mit deiner Formel die SP beider Teile berechnen können^^
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Anzumerken wäre noch, dass in Fällen wie deinem, wo man den Schwerpunkt der rotierenden Fläche berechnen muss, die Guldinsche Regel nicht besonders nützlich ist. Bei der Berechnung des Volumens (ohne Guldin) und des Schwerpunktes ist das gleiche Integral zu bestimmen. Für den Schwerpunkt benötigt man aber zusätzlich den Flächeninhalt. Der kürzt sich aber bei Anwendung der Guldinschen Regel wieder heraus, wird also völlig unnötig berechnet.
Santa Maria Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Dann gilt



Das letzte Integral bekommt man nach Fubini, wenn man außen über und innen über integriert. Und eine Stammfunktion liegt auf der Hand.



mhhh, hab leider nicht viel ahnung vom integrieren... und integrieren eines Produktes hab ich garkeine ahnung unglücklich
kannst du mir das bitte bischen genauer erklären?
Was meinst du mit über y integrieren? Soll ich da die Umkehrfunktion integrieren? unglücklich
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Santa Maria
Was meinst du mit über y integrieren? Soll ich da die Umkehrfunktion integrieren? unglücklich

So war das nicht gemeint. Da steht doch zunächst ein Integral über eine Fläche und dann ist über beide Koordinaten x und y zu integrieren. Die Integration über die y-Koordinate ist trivial. Die hat Leopold schon für dich ausgeführt. Du musst also nur noch



ausführen. Die Stammfunktion sieht man sofort, weil der Faktor 2x gerade die Ableitung von x^2 ist. Wenn du es nicht siehst, die Substitution



löst das Problem.
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