Extremwertaufgabe: Eisenbahnschiene um Ecke

27.09.2010, 23:15

mwinter

Extremwertaufgabe: Eisenbahnschiene um Ecke

"Eine Eisenbahnschiene, die nur liegend transportiert werden kann, soll um eine Ecke getragen werden.

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Wie lang darf die Schiene bei den gegebenen Maßen
höchstens sein?"

HB: $\begin{eqnarray*} L(x,y) = \sqrt{y^2 + x^2} \end{eqnarray*}$

NB: $\begin{eqnarray*} m= \frac{-y}{x} \end{eqnarray*}$ , mithin: $\begin{eqnarray*} 2= \frac{-y}{x} + y \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} y= \frac{2x}{x-1} \end{eqnarray*}$

ZF: $\begin{eqnarray*} L(x) =\sqrt{ \frac{4x^2}{(x-1)^2} + x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L'(x) =\frac{1}{2 \sqrt{ \frac{4x^2}{(x-1)^2} + x^2 }} \cdot \frac{8x(x-1)^2 - 4x^2 (2x-2)}{(x-1)^4} + 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L'(x) =\frac{8x(x-1)^2 - 4x^2 (2x-2) + 2x(x-1)^4}{2 \sqrt{ \frac{4x^2}{(x-1)^2} + x^2 } \cdot (x-1)^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L'(x) = \frac{x^3 - x^2 + x - 5}{(x-1)^3 \cdot \sqrt{\frac{4}{(x-1)^2}+ 1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3 - x^2 + x - 5 = 0 \end{eqnarray*}$

Da ich ab dieser Stelle keine glatte Nullstelle finden kann, muss irgendwo ein Fehler sein. Ich glaube meine Bedingungen ansich sind schon falsch weil ich doch irgendwie eingrenzen muss, dass x > 1 sein muss und y > 2.

Kann mir jemand helfen?

Lg

28.09.2010, 00:13

wisili

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RE: Extremwertaufgabe: Eisenbahnschiene um Ecke
Die Ableitung L' ist falsch, weil diverse Klammern fehlen.
Die Rechnung würde einfacher, wenn du L^2 statt L zur Zielfunktion machst.
Ich erhalte allerdings auch eine Gleichung 3. Grades.

28.09.2010, 00:20

mYthos

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Mit List kann diese Gleichung 3. Grades einfach gelöst werden.
Die einzelnen Summanden NICHT zusammenziehen und getrennt ableiten.
Im Bruch durch (x-1) kürzen. Danach erhalten wir beim Nullsetzen

$\begin{eqnarray*} (x - 1)^3 = 8 \end{eqnarray*}$ EDIT: Berichtigung: .. = 4 (statt 8)

mY+

28.09.2010, 00:28

wisili

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Täusche ich mich: Ist es nicht $\begin{eqnarray*} (x - 1)^3 = 4 \end{eqnarray*}$ ?

28.09.2010, 00:49

mwinter

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RE: Extremwertaufgabe: Eisenbahnschiene um Ecke
HB: $\begin{eqnarray*} L(x,y) = \sqrt{y^2 + x^2} \end{eqnarray*}$

NB: $\begin{eqnarray*} m= \frac{-y}{x} \end{eqnarray*}$ , mithin: $\begin{eqnarray*} 2= \frac{-y}{x} + y \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} y= \frac{2x}{x-1} \end{eqnarray*}$

ZF: $\begin{eqnarray*} L(x) =\sqrt{ \frac{4x^2}{(x-1)^2} + x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L^2 (x) =\frac{4x^2}{(x-1)^2} + x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L'(x) =\frac{8x(x-1)^2 -8x^2 (x-1)}{(x-1)^4} + 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L'(x) =\frac{8x(x-1)-8x^2 }{(x-1)^3} + 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L'(x) =\frac{-8x }{(x-1)^3} + 2x \end{eqnarray*}$

Bedingungen:
$\begin{eqnarray*} L'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} L ''(x) < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-8x }{(x-1)^3} + 2x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -8x + 2x(x-1)^3 = 0 \end{eqnarray*}$ | :2x

$\begin{eqnarray*} x1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-1)^3=4 \end{eqnarray*}$

Dann zweite Ableitung überprüfen und fertig, oder?

Uff, quadrieren kann einem ganz schön viel Arbeit ersparen, genauso wie eine sinnvolle Vorgehensweise beim Auflösen.

Danke an euch beide!

Muss jetzt umbedingt schlafen, gute Nacht Augenzwinkern

28.09.2010, 01:11

mYthos

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@mwinter: So passt es!

Zitat:

Original von wisili
Täusche ich mich: Ist es nicht $\begin{eqnarray*} (x - 1)^3 = 4 \end{eqnarray*}$ ?

Du täuscht dich nicht! Beim Dividieren von 8 durch 2 entsteht doch tatsächlich 4! Big Laugh

THX mY+

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