Maximaler Grad von Primpolynomen über R

28.09.2010, 00:56

Dagobert

Maximaler Grad von Primpolynomen über R

Hallo,

bekanntlich zerfallen alle reellen Polynome in Polynome, die höchstens den Grad 2 haben. Ich bin auf der Suche nach einem Beweis dafür. Der Fundamentalsatz der Algebra kann vorausgesetzt werden.
Beispielsweise folgt das gesuchte aus der Tatsache, dass komplexe Nullstellen reeller Polynome immer gemeinsam mit dem entsprechenden komplex konjugierten auftreten. Aber wie kann man das wiederum aus dem Fundamentalsatz herleiten? Nach einigem rumprobieren kam ich darauf, dass das doch nicht so trivial ist, wie es womöglich erscheint? Irre ich mich?
Besten Dank schonmal.

28.09.2010, 01:32

gitterrost4

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RE: Maximaler Grad von Primpolynomen über R
Dies kannst du ueber Koerpererweiterungen beweisen.

Bekanntermassen ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb C=\mathbb R(i) \end{eqnarray*}$

Weiterhin ist $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ Nullstelle des (irreduziblen) Polynoms $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ueber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Das heisst, dass der Erweiterungsgrad $\begin{eqnarray*} [\mathbb C:\mathbb R]=2 \end{eqnarray*}$ ist.

Angenommen es gibt ein irreduzibles Polynom $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit Grad groesser oder gleich 3. O.B.d.A. koennen wir $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ als normiert annehmen. Da $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein algebraischer Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, hat $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ irreduzibel und normiert ist, ist $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ueber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Damit ist der Erweiterungsgrad $\begin{eqnarray*} [\mathbb R(a):\mathbb R]=grad(P)>2 \end{eqnarray*}$

Aber es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R(a)\leq \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} [\mathbb R(a):\mathbb R]\leq [\mathbb C:\mathbb R]=2 \end{eqnarray*}$ . Dies liefert den Widerspruch.

28.09.2010, 07:48

tmo

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RE: Maximaler Grad von Primpolynomen über R

Zitat:

Original von Dagobert

Beispielsweise folgt das gesuchte aus der Tatsache, dass komplexe Nullstellen reeller Polynome immer gemeinsam mit dem entsprechenden komplex konjugierten auftreten.

Das folgt schon aus der Tatsache, dass für Polynome gilt: $\begin{eqnarray*} f(\overline z)=\overline{f(z)} \end{eqnarray*}$ .

Und damit ist der Beweis dann völlig elementar. Du unterscheidest die reellen Nullstellen sowie die komplexen Nullstellen, machst aus den reellen Nullstellen lineare Faktoren und aus den komplexen Nullstellen quadratische Faktoren.

Oder auch mit einem simplen Widerspruch: Du nimmst dir ein irreduzibles Polynom und gibst dann je nach Nullstelle (reell oder komplex) doch eine Zerlegung an.

28.09.2010, 10:22

gitterrost4

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RE: Maximaler Grad von Primpolynomen über R

Zitat:

Original von tmo
Das folgt schon aus der Tatsache, dass für Polynome gilt: $\begin{eqnarray*} f(\overline z)=\overline{f(z)} \end{eqnarray*}$ .

So gehts natuerlich auch.

28.09.2010, 19:35

Dagobert

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Alles klar, viele Dank euch beiden.

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