dx)= -1

28.09.2010, 09:01

lordpa

(dx/dy)(dy/dz)(dz/dx)= -1

Meine Frage:
Kann mir jemand erklären wieso (dx/dy)(dy/dz)(dz/dx)= -1 ist? ich verstehe es einfach nicht...

Bitte eine möglichst anschauliche einfache Antwort.

Meine Ideen:
Ansätze habe ich selbst keine, da nach einfacher Mathematik das Ergebnis 1 und nicht -1 sein müsste.

28.09.2010, 09:49

Huggy

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RE: (dx/dy)(dy/dz)(dz/dx)= -1
siehe Van der Waals Gleichung

Lass sich dich nicht von der Überschrift irritieren. Im Thread wird der allgemeine Fall der impliziten Ableitung einer Funktion mit 3 Variablen behandelt.

28.09.2010, 12:26

Ehos

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Man kann nicht pauschal sagen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy}\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}=-1 \end{eqnarray*}$

Wenn man z.B. mit x,y,z die unabhängigen Koordinaten des 3D-Raumes meint, wäre diese Formel falsch. Dort gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy}=\frac{dy}{dz}=\frac{dz}{dx}=0 \end{eqnarray*}$

Demnach würde die rechte Seite in der 1.Formel verschwinden. Damit die obige Formel gilt, muss man eine "Nebenbedingung" einführen. Man muss nämlich eine Funktion $\begin{eqnarray*} z=z[x,y(x)] \end{eqnarray*}$ betrachten und fordern

$\begin{eqnarray*} const=z=z[x,y(x)] \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist anschaulich eine Fläche im 3D-Raum. Differenziert man dies mit der Kettenregel nach x, erhält man

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{dz}{dx}+\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

Multipliktion mit dx/dz ergibt wegen (dz/dx)/dx/dz)=1 die gewünschte Formel.

Eigentlich müsste man hier für die partiellen Ableitungen das Symbol $\begin{eqnarray*} \partial/\partial x \end{eqnarray*}$ verwenden, worauf ich hier verzeichtet habe.

28.09.2010, 13:11

Huggy

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Zitat:

Original von Ehos
Damit die obige Formel gilt, muss man eine "Nebenbedingung" einführen. Man muss nämlich eine Funktion $\begin{eqnarray*} z=z[x,y(x)] \end{eqnarray*}$ betrachten und fordern

$\begin{eqnarray*} const=z=z[x,y(x)] \end{eqnarray*}$

Oder etwas allgemeiner von einer Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$

ausgehen mit den entsprechendem Auflösbarkeitsbedingungen nach den Variablen. Genau dieser Fall wurde in dem zitierten Thread betrachtet.

28.09.2010, 20:46

lordpa92

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danke für die antworten smile

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(dx/dy)(dy/dz)(dz/dx)= -1

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