Teilmenge einer Grundmenge - offen/abgeschlossen - (geklärt)

09.11.2006, 15:58

anna_lyse

Teilmenge einer Grundmenge - offen/abgeschlossen - (geklärt)

Hi
Ich hätte gerne gewußt, ob folgende Überlegungen richtig sind:

Sei $\begin{eqnarray*} \left(\{\{1\}\cup(3,5]\},d\right) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum mit der Metrik $\begin{eqnarray*} d(x,y):=|x-y| \end{eqnarray*}$

Die Teilmenge $\begin{eqnarray*} M_1=\{1\} \end{eqnarray*}$ ist mE offen, da alle Punkte in der EpsilonUmgebung von 1 zu der Grundmenge gehören.
Oder könnte man so argumentieren: $\begin{eqnarray*} (3,5] \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen auf der Grundmenge, daher muss das Komplement, also $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ , offen sein.

So 'ne EpsilonUmgebung auf so einer Grundmenge sich "vorzustellen" ist schon komisch, da ja in $\begin{eqnarray*} \{5\} \end{eqnarray*}$ eigentlich keine EpsilonUmgebung existiert, die ganz in der Grundmenge liegt, also auch Punkte enthält, die gar nicht definiert sind. Deswegen widerstrebt mir das oben ein bisserl.

Würde mich auf einen kleinen Dialog freuen smile

09.11.2006, 16:37

Sunwater

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Also ich würde sagen {1} ist bezüglich sich selbst wie alle Mengen offen und abgeschlossen und bezüglich der gesamten Menge ist es nur abgeschlossen...

09.11.2006, 17:03

anna_lyse

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Hi Sunwater, danke für deine Antwort, aber irgendwie fällt bei mir noch nicht der Groschen.

Ausgehend davon, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} Y:=\{\{1\}\cup(3,5]\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{1\}=M_1 \subset Y \end{eqnarray*}$
Dann wäre M1 abgeschlossen gdw. $\begin{eqnarray*} Y-M_1 \end{eqnarray*}$ offen ist.
$\begin{eqnarray*} Y-M_1 \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} (3,5] \end{eqnarray*}$ und das ist doch auf Y abgeschlossen.
Es existiert in {5} ja keine EpsilonUmgebung, die ganz in Y liegt.
Wenn ich das so sage, dann müsste dann ja auch {1} abgeschlossen sein.
Das verwirrt mich irgendwie ^^

09.11.2006, 19:23

Abakus

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Zitat:

Original von anna_lyse
Ausgehend davon, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} Y:=\{\{1\}\cup(3,5]\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{1\}=M_1 \subset Y \end{eqnarray*}$
Dann wäre M1 abgeschlossen gdw. $\begin{eqnarray*} Y-M_1 \end{eqnarray*}$ offen ist.
$\begin{eqnarray*} Y-M_1 \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} (3,5] \end{eqnarray*}$ und das ist doch auf Y abgeschlossen.

Ja (beim Y müssen ein Paar Mengenklammern weg).

Zitat:

Es existiert in {5} ja keine EpsilonUmgebung, die ganz in Y liegt.
Wenn ich das so sage, dann müsste dann ja auch {1} abgeschlossen sein.

{1} ist abgeschlossen, ja. Die Epsilon-Umgebungen von 5 sehen wie folgt aus (Epsilon genügend klein vorausgesetzt): $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(5) = ]5-\epsilon, 5] \end{eqnarray*}$

Mehr als das kann es im Raum Y nicht werden.

Grüße Abakus smile

09.11.2006, 19:52

anna_lyse

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Cool, danke Abakus.

Ist dann $\begin{eqnarray*} (3,5) \end{eqnarray*}$ offen?
Ich würde sagen ja, da {1} u {5} abgeschlossen ist, oder?

lg

09.11.2006, 19:57

Abakus

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Zitat:

Original von anna_lyse
Ist dann $\begin{eqnarray*} (3,5) \end{eqnarray*}$ offen?
Ich würde sagen ja, da {1} u {5} abgeschlossen ist, oder?

Das ist offen, aber da es ein offenes Intervall ist, ist das nun nicht weiter erstaunlich.

Grüße Abakus smile