nichtlineares Gleichungssystem mit Ungleichungen - Lösungsanzahl

28.09.2010, 14:02	Headfield	Auf diesen Beitrag antworten »
nichtlineares Gleichungssystem mit Ungleichungen - Lösungsanzahl Meine Frage: Variante 1: Anbei ist folgendes Gleichungssystem zu lösen: $\begin{eqnarray} \frac{ab+bc+cd}{a²+b²+c²+d²} =A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{ac+bd}{a²+b²+c²+d²} =B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{ad}{a²+b²+c²+d²} =C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a+b+c+d = 1 \end{eqnarray}$ Hierbei sind die Werte A, B und C bekannt. Klar ist mir natürlich, dass es an dieser mehrere Lösungen gibt oder geben kann. Hier würde ich jetzt gerne wissen: Lässt sich formaltheoretisch zeigen, wieviele Lösungen es maximal geben kann? (d.h. reelle UND komplexe) Variante 2: Zusätzlich zu dem obigen Gleichungssystem kann noch ein "Rangvektor" einfließen, der beispielsweise folgende Form hat: $\begin{eqnarray} 1 > a > b > c > d > 0 \end{eqnarray}$ Hierbei kann die Rangfolge jedoch je nach vorliegendem Problem variieren. Besteht die Möglichkeit, formaltheoretisch zu zeigen, dass mit dem Hinzufügen der Ungleichungen die Anzahl der Lösungen obigen Gleichungssystems auf 1 reduziert wird? Meine Ideen: Leider habe ich keine Idee, wie sich das Problem lösen lässt. Zwar glaube ich, dass die Anzahl der maximal möglichen Lösungen des obigen Gleichungssystems 2^(Anzahl_Koeffizienten - 1) entspricht, "beweisen" kann ich es jedoch nicht. In der obigen Variante wären es also 2^(4-1) = 8 Lösungen. Mathematica spuckt auch immer 8 aus ... rein "praktisch" passt es also - aber das ist ja noch kein Beweis. Zudem kann ich die Lösungsanzahl auf 1 reduzieren, wenn ich die Ungleichungen mit aufnehme - aber auch das ist ja noch kein Beweis. Für Hilfe jeglicher Art wäre ich echt dankbar! PS: Die Anzahl der Koeffizienten (a,b,c,...) kann variieren, in Abhängigkeit der Anzahl gibt es weitere Terme, sodass es entsprechend noch ein D oder E usw. gibt.
29.09.2010, 12:56	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein können nichtlieare Gleichungssysteme recht viel Arbeit machen. Vielleicht hilft hier folgender Hinweis: Wenn man das Doppelte der ersten 3 Gleichungen addiert, ergibt sich $\begin{eqnarray} \frac{2ab+2bc+2cd+2ac+2bd+2ad}{a^2+b^2+c^2+d^2}=2\cdot(A+B+C) \end{eqnarray}$ Den Zähler auf der linken Seite kann man umschreiben, so dass $\begin{eqnarray} \frac{(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)}{a^2+b^2+c^2+d^2}=2\cdot(A+B+C) \end{eqnarray}$ Umstellen ergibt $\begin{eqnarray} a^2+b^2+c^2+d^2=\frac{(a+b+c+d)^2}{1+2(A+B+C)} \end{eqnarray}$ Wegen der Gleichung $\begin{eqnarray} a+b+c+d=1 \end{eqnarray}$ vereinfacht sich dies zu $\begin{eqnarray} a^2+b^2+c^2+d^2=\frac{1}{1+2(A+B+C)} \end{eqnarray}$ Damit ersetzen wir in den ersten drei Gleichungen des ursprünglichen Gleichungssystems den nenner und erhalten für dieses ursprungliche Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} ab+bc+cd=\frac{A}{1+2A+2B+2C} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ac+bd=\frac{B}{1+2A+2B+2C} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ad=\frac{C}{1+2A+2B+2C} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a+b+c+d=1 \end{eqnarray}$ Diese 4 Gleichungen sehen schon angenehmer aus. Jetzt würde ich die letzte Gleichung nach a umstellen, also a=1-b-c-d und damit in den anderen 3 Gleichungen die Variable a eliminieren. dann hast du nur nach 3 Gleichungen mit 3 Variablen. Danach eine Gleichung nach b umstellen und ebenso b eliminieren usw.

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