DiMa: Anzahl der Zahlpartitionen und unendliche Summe

28.09.2010, 15:34	le	Auf diesen Beitrag antworten »
DiMa: Anzahl der Zahlpartitionen und unendliche Summe Hallo, ich komme bei einer AUfgabe in Diskreter Mathematik überhaupt nicht weiter. Ich soll mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty p(n)x^{n} = P ( von i bis \infty )\frac{1}{1-x^{i} } \end{eqnarray*}$ (Das Zeichen für das unendliche Produkt konnte ich im Formeleditor nicht finden?? P soll das Produkt von i=1 bis unendlich sein.) Dabei ist p(n) die Anzahl der Zahlpartitionen von n. Erzeugende Funktionen sind zu diesem Zeitpunkt noch nciht vorgekommen. In meinen Büchern wird das immer über erzeugende Funktionen gezeigt, deshalb weiß ich hier einfach nicht, was ich machen kann. Hat hier jemand eine Idee? Wie kann ich mich p(n) nähern? Das hat ja Ähnlichkeit mit starken Kompositionen von n, nur dass zum Beipsiel für n=4 1+3 und 3+1 2 verschiedene Kompositionen sind, aber nur eine Zahlpartition darstellen, nämlich (1<=3). Vermutlich muss ich also eine Abbildung schaffen, die mir genau diese Kompositionen raussucht, oder?
28.09.2010, 16:47	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-x^i} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} x^{ik} \qquad () \end{eqnarray}$ nichts weiter als eine geometrische Reihe. In deinem Bedeutungskontext symbolisiert nun das Reiheglied $\begin{eqnarray} x^{ik} \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -fache Auftreten des Summanden $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} ik = \underbrace{i + i + \ldots + i}_{k\mbox{-mal}} \end{eqnarray}$ . Über alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ multipliziert ergibt () nun ...

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