N-te Fourierpolynom und integral bestimmten

28.09.2010, 19:56	DR. NO von Name	Auf diesen Beitrag antworten »
N-te Fourierpolynom und integral bestimmten Meine Frage: Das n-te Fourierpolynom der Funktion g:R->R sei gegeben : durch 1+(summationzeichen, n über k=1 ) von (1/kpi)+(2/(k²pi²)) * sin(2kx) bestimmen sie den Wert des Integrals: g(x)cos(6x) dx in den Grenzen von 0 bis 2pi Meine Ideen: Nun , ich weiß das ich einige Informationen aus dem Fourierpolynon raus holen muss und es ins integral einsetzen , dazu gehören die Fourierkoeffizienten und die Länge der Periode. Doch wie und wo setze ich sie ein ? Und dann kann ich doch einfach "normal" das Integral berechnen , oder
29.09.2010, 09:23	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekanntlich bilden die Funktionen $\begin{eqnarray} \sin(2kx) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(2kx) \end{eqnarray}$ mit k=1,2,3... im Intervall [0;2pi] eine Basis der in diesem Intervall gegebenen Funktionen. Da in diesem Raum die Funktionen $\begin{eqnarray} \sin(2kx) \end{eqnarray}$ senkrecht auf allen Funktionen $\begin{eqnarray} \cos(2kx) \end{eqnarray}$ stehen, spannen beide Funktionengruppen Unterräume auf, die aufeinander senkrecht stehen. Hat man also irgendeine Funktion g, die als Linearkombination der Funktionen $\begin{eqnarray} \sin(2kx) \end{eqnarray}$ darstellt werden kann (wie in deiner Aufgabe), dann steht diese Funnktion natürlich ebenfalls senkrecht auf auf allen Funktionen $\begin{eqnarray} \cos(2kx) \end{eqnarray}$ . Mit anderen Worten - das Skalarprodukt g*cos(2kx) verschwindet. Dieses Skalarprodukt ist gerade das gesuchte Integral.

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