Ableitung eines Integrals

28.09.2010, 20:47

MatheNull0520

Ableitung eines Integrals

Guten Abend alle zusammen !

Hab nur eine kurze Frage bezüglich des Ableitens eines bestimmten Integrals.

Bsp.:

$\begin{eqnarray*} f(t) = \int_0^t \! \sin^{2}(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ableitung ist dann ja :

$\begin{eqnarray*} f'(t) = sin^{2}(x) * 1 \end{eqnarray*}$ , weil ich ja das integral einfach ableiten kann und die obere grenze abgleitet = 1 ist.

Soweit so gut ... wie aber gehe ich vor, wenn die Funktion so aussehen würde :

$\begin{eqnarray*} f(t) = \int_t^b \! \sin^{2}(x) \, dx \end{eqnarray*}$ (für b = t² einsetzen...wollte er net darstellen)

Wäre meine Ableitung dann ganz normal :

$\begin{eqnarray*} f'(t) = sin^{2}(x) * (2t -1) \end{eqnarray*}$ ???

Mir geht es dabei besonders um die untere Grenze .. muss ich die beim ableiten auch beachten ??? in diesem fall wäre die ableitung der unteren grenze dann ja 1 ... daher habe ich dass dann einfach mal abgezogen !!! richtig ???

MFG

28.09.2010, 21:39

corvus

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RE: Ableitung eines Integrals !

Zitat:

Original von MatheNull0520
alle zusammen !
Hab nur eine kurze Frage bezüglich des Ableitens eines bestimmten Integrals.

$\begin{eqnarray*} f(t) = \int_0^t \! \sin^{2}(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine A bleitung ist dann ja :

$\begin{eqnarray*} f'(t) = sin^{2}(x) * 1 \end{eqnarray*}$ , geschockt

weil ich ja das integral einfach ableiten kann und die obere grenze abgleitet = 1 ist. Gott

kurzer Tipp zu deiner ">Hochschulmathematik" :
ermittle zuerst mal eine Stammfunktion zu deinem Integral

$\begin{eqnarray*} \int \! \sin^{2}(x) \, dx = ? \end{eqnarray*}$

und jetzt beginne zu überlegen, wie dein f(t) aussieht .. und berechne dann df/dt Wink

29.09.2010, 16:53

MatheNull0520

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Meine Stammfunktion lautet

$\begin{eqnarray*} \frac{-\cos(x)*\sin(x) + x }{2} \end{eqnarray*}$

also sieht mein f(t) letzendlich so aus :

$\begin{eqnarray*} f(t) = \left[\frac{-\cos(x)*\sin(x) + x }{2}\right]_{t}^{t²} = \frac{-\cos(t²)*\sin(t²) + t² }{2} - \frac{-\cos(t)*\sin(t) + t }{2} \end{eqnarray*}$

also muss ich letzendlich dass jetzt noch ausrechnen und dann einfach ableiten ja ???

29.09.2010, 17:06

René Gruber

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Ich denke, corvus wollte auch auf ganz was anderes hinaus: Dass nämlich

$\begin{eqnarray*} f'(t) \stackrel{?}{=} sin^{2}(x) * 1 \end{eqnarray*}$

keinen Sinn macht, das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (was nur die Integrationsvariable war und genausogut auch $\begin{eqnarray*} u,v,\xi,\zeta,\ldots \end{eqnarray*}$ heißen könnte) hat hier gar nix zu suchen! Richtig ist

$\begin{eqnarray*} f'(t) = \sin^{2}(t) \end{eqnarray*}$ .

Allgemein kannst du bei der Ableitung von

$\begin{eqnarray*} f(t) = \int\limits_{a(t)}^{b(t)} ~ g(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

streng nach Kettenregel vorgehen: Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ irgendeine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , dann gilt ja nach Hauptsatz

$\begin{eqnarray*} f(t) = G(b(t)) - G(a(t)) \end{eqnarray*}$ .

Ableitung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ergibt dann schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} f'(t) = G'(b(t))\cdot b'(t) - G'(a(t))\cdot a'(t) = g(b(t))\cdot b'(t) - g(a(t))\cdot a'(t) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. man braucht die genaue Gestalt von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gar nicht. Augenzwinkern

29.09.2010, 20:04

Leopold

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Ich finde es immer merkwürdig, wenn bei diesem Aufgabentyp mit einer fiktiven Stammfunktion argumentiert wird. Die Integralfunktion braucht nicht mit Hilfe einer Stammfunktion berechnet zu werden, sondern sie ist eine Stammfunktion des Integranden (Stetigkeit des Integranden ist hinreichend), nämlich von allen Stammfunktionen diejenige, die an der unteren Grenze verschwindet. Daß viele so umständlich argumentieren, liegt, glaube ich, daran, daß sie die Integration mit variabler oberer Grenze in ihrem Innersten nicht als selbständige funktionserzeugende Operation akzeptieren, sondern immer meinen, man müsse Integrale "berechnen".

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt:

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einem Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} a \in I \end{eqnarray*}$ , und ist weiter

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_a^x f(t)~\dd t \, , \ \ x \in I \end{eqnarray*}$

die Integralfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zur unteren Grenze $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , so gilt:

$\begin{eqnarray*} F'(x) = f(x) \ \ \text{und} \ \ F(a) = 0 \end{eqnarray*}$

29.09.2010, 20:42

René Gruber

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Zitat:

Original von Leopold
Ich finde es immer merkwürdig, wenn bei diesem Aufgabentyp mit einer fiktiven Stammfunktion argumentiert wird.

Hat wer von einer "fiktiven" Stammfunktion gesprochen? Augenzwinkern

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