Koerzive Funktion

29.09.2010, 01:47

der_Ingo21

Koerzive Funktion

Hallo,

ich habe eine Frage wie ich koerzivität bei der Folgenden Funktion testen soll:

f(x,y) := x^4 + y^4 - (x^2)*(y^2). Ich bin mir nicht 100% sicher, aber ich muss doch einfach nur x und y gegen unendlich laufen lassen und überprüfen ob die funktion gegen unendlich geht.

Ist der folgende Ansatz dafür ausreichend?:

die höchste potenz ist die 4er Potenz. diese ist positiv. Deswegen geht die Funktion f gegen unendlich.

kann man da so argumentieren???

gruß

Ingo

29.09.2010, 08:00

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht ausreichend. Damit die Funktion koerziv ist, muss sie in jeder beliebigen Richtung nach unendlich gehen.
Für den Nachweis, würde ich hier einmal versuchen alles in Polarkoordinaten zu schreiben.

29.09.2010, 14:46

der_Ingo21

Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich das richtig verstehe muss ich überprüfen:

x gegen minus und plus unendlich

y gegen minus und plus unendlich

und wenn bei diesen VIER grenzwerten unendlich rauskommt passt das?

29.09.2010, 15:46

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, eben nicht.
Der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ hat noch unendlich viel mehr Richtungen als bloss die Koordinatenachsen. Zum Beispiel ist die hier gezeichnete Gerade auch eine Möglichkeit nach unendlich zu gehen:
.

Sogar noch schlimmer, damit das Ding koerziv ist, muss man für jede Möglichkeit nach unendlich zu kommen überprüfen, dass die Funktionswerte unbeschränkt gross sind, also auch für jeden "krummen" Weg, zb entlang
.

29.09.2010, 19:34

Hans A. Plast

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft ja folgende Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} x^4+y^4-x^2y^2=\underbrace{(x^2-y^2)^2}_{\geq 0}+x^2y^2\geq x^2y^2 \end{eqnarray*}$

02.10.2010, 22:28

der_Ingo21

Auf diesen Beitrag antworten »

so nach selbstständigem tüfteln komme ich auch nicht auf die lösung.

ist das mit den polarkoordinaten nötig, weil ich dann "nur" zeigen muss das die winkelfunktion von 0 bis 2*Pi geht? und der radius unbeschränkt ist?

wie soll ich den die funktion in polarkoordinaten ausdrücken?

f(phi,r) = r* e^(i*phi) oder so ?

@ Hans-A-Plast

ich weiß leider nicht wie mir die abschätzung weiter helfen soll

03.10.2010, 13:49

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm doch die Abschätzung von Hans A. Plast. Damit weisst du, dass
$\begin{eqnarray*} f(x,y)\geq x^2y^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn du nun Polarkoordinaten nutzt, dann hast du davon, dass $\begin{eqnarray*} x=r\cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=r\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ .

Hier ist $\begin{eqnarray*} \varphi\in[0,2\pi] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r\geq0 \end{eqnarray*}$ und vor allen Dingen bedeutet die Bedingung $\begin{eqnarray*} \|(x,y)\|\to\infty \end{eqnarray*}$ nun einfach nur noch $\begin{eqnarray*} r\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Die Funktion ist koerziv, falls $\begin{eqnarray*} f(x,y)\to\infty \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \|(x,y)\|\to\infty \end{eqnarray*}$ und in Polarkoordinaten schreibt sich das dann:
$\begin{eqnarray*} f(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))\to\infty \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} r\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Nun nutze die gegebene Abschätzung und schreibe $\begin{eqnarray*} x^2y^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=r\cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=r\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ aus.

03.10.2010, 18:08

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

und was ist mit dem Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} ||(x,0)||\longrightarrow \infty f(x,y) \geq x^2y^2 = 0 \not \longrightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Also auf den Koordinatenachsen geht es bei der Abschätzung schief.
Wie wäre es mit:

Die Funktion
$\begin{eqnarray*} (x,y) \longmapsto x^2y^2 \end{eqnarray*}$

nimmt auf $\begin{eqnarray*} x^2 +y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ das Maximum für $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ an.
Demnach ist für ein ausreichend grosses r:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^4 + y^4 - x^2y^2 \geq x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt die Behauptung.

Man müsste obiges Argument evtl. noch ein wenig präzisieren....

Zu den Polarkoordinaten:
Ich habe zwar mit diesen nicht so oft zu tun gehabt, aber wenn man den Radius gegen Unendlich laufen lässt. Dann wird wahrscheinlich Theta konst. gelassen.. Das wäre aber nur eine Untersuchung des Grenzwertes für y = mx, also Geraden.
Vielmehr müsste man ja auch Theta beim Grenzwert beliebig Variieren können.

Von der Vorstellung könnte man sich ja einen Weg finden, z.b. auf den Niveaulinien wo die Funktion konstant 0 ist. Das würde bei konstantem Winkel ja nicht direkt auffallen. Zumindest sofern der Weg nicht eine Gerade ist.

mfg

03.10.2010, 19:39

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sergej88
Dann wird wahrscheinlich Theta konst. gelassen.. Das wäre aber nur eine Untersuchung des Grenzwertes für y = mx, also Geraden.

Nein, $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ lässt man beliebig. Man bemerkt einfach, dass das $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ im Wesentlichen immer im Argument von einer geraden Potenz von Sinus oder Kosinus steht und damit hat man $\begin{eqnarray*} r^?\cdot(...) \end{eqnarray*}$ und in der Klammer steht dann etwas, das beschränkt ist und immer positiv ist. Es folgt also dass das Zeugs bestimmt divergiert.

03.10.2010, 23:56

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

ja so funktioniert es natürlich.
Mein Bedenken war, dass man nicht unbedingt sofort sieht, wenn es eine Niveaulinie bezüglich der Null gibt, welche unbeschränkt ist.
Immerhin kann da der Parameter schön varriieren.

Möchte mich aber auchnicht mehr weiter einmischen, hier gibt es ja schon genug zielführende Hilfestellungen.

Mfg.

Neue Frage »

Antworten »

Koerzive Funktion

Verwandte Themen