Kombinatorik - Münzenwurf

29.09.2010, 01:50

Floyd

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Kombinatorik - Münzenwurf

Hallo liebe Mathefreunde

hier mal eine interessante Komibatorikaufgabe:

"EIne Münze wird 12-mal geworfen. Wie viel verhschiedene Ergebnisse sind möglich, wenn....

a) keine weiteren Bedingungen vorliegen
b) erster und letzter Wurf "Zahl" sein sollen
c) erster und letzter Wurf gleich sein sollen
d) die ersten drei Würfe gleich sein sollen
e) die ersten drei Würfe "Zahl" sein sollen
f) genau dreimal "Zahl" erscheinen soll
g) höchstens dreimal "Zahl" erscheinen soll

Also, ich vertsehe die Aufgabe so, dass hier "mit zurücklgen" aber bei Beachtung "der Reihenfolge" vorliegt. Sehe ich das richtig?

29.09.2010, 02:08

Floyd

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Und hier sind meine Lösungen, die ich mir überlegt habe:

a) 2^12 = 4096

b) 2^10 = 1024

c) 2* 2^10 = 2048

d) 2 * 2^9 = 1024

e) 2^9 = 512

f) 4 * 12 = 48

g) 120

29.09.2010, 06:20

DanielWolf

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Ich bin mir bei kombinatorik auch oft etwas unsicher aber ich meine folgender Ansatz bei der Aufgabe f wäre richtig:

12!/(3!*9!)=220

Ich glaube auch, dass wir zwar einerseits die Reihenfolge beachten - z.B. zahl-kopf-zahl ist etwas anderes als z-z-k - aber andererseits ist es uns egal, welche zahl zuerst kommt - also z1-z2-k ist das selbe wie z2-z1-k.

29.09.2010, 08:43

org

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c) die Ersten 3 Würfe sollen gleich sein:
Wenn erster Wurf eine Zahl, dann hat man noch 2^(12-3) Möglichkeiten. Bei Kopf ebenso. Insgesamt also
2*2^(12-3)=2^10
oder liege ich da falsch??

d) siehe c

e,f) Wie DanielWolf gesagt hat, ist das 2-mal
http://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatori...ur.C3.BCcklegen

(wobei in f das ganze in 0,1 und 2 Treffer aufgesplittet werden muss)

29.09.2010, 13:27

wisili

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf
Die gefragte Anzahl ist abhängig vom gewählten Ergebnisraum. Diese Wahl ist ihrerseits so zu treffen, dass alle Ereignisse a) bis g) korrekt modelliert werden können. Das ist in diesem Fall nur möglich, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird. Unter diesem Aspekt halte ich Floyds Lösungen a) bis e) für richtig.

29.09.2010, 13:52

org

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf
Wie meinst du das mit der Reihenfolge?

Beispiel f:

Das sind 49 verschiede Möglichkeiten (nicht alle!), die allesamt erlaubt sind (soweit ich das verstanden habe).
Dabei 3 mal Zahl bei 9 Ziehungen.

Und bei 12 Ziehungen gibt es ja noch mehr möglichkeiten

1=Zahl
9=Kopf
000000111
000001011
000001101
000001110
000010011
000010101
000010110
000011001
000011010
000011100
000100011
000100101
000100110
000101001
000101010
000101100
000110001
000110010
000110100
000111000
001000011
001000101
001000110
001001001
001001010
001001100
001010001
001010010
001010100
001011000
001100001
001100010
001100100
001101000
001110000
010000011
010000101
010000110
010001001
010001010
010001100
010010001
010010010
010010100
010011000
010100001
010100010
010100100
010101000

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29.09.2010, 16:00

wisili

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf
@org
Ich habe meine Antwort nicht auf deinen Beitrag ausgerichtet, sondern eher auf DanielWolf oder allgemein. Sorry, ich hätte das kennzeichnen sollen. Ich bin ganz deiner Meinung, dass man alle Variationen nehmen soll.

29.09.2010, 17:01

org

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf
Zur Klärung:

Du hast doch geschrieben, dass die f) von Floyd richtig sei.

Daniel und ich sind da anderer Meinung.

Mein letzter Post sollte zeigen, dass 48 nicht ausreichen können.

Versteh ich da irgendwas in der Aufgabenstellung falsch?
Könntest du das bitte ausführlicher schreiben, was deiner Meinung nach bei der f) herrauskommen muss/wie man es rechnet?

29.09.2010, 20:12

Floyd

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf
Hi Org und Co

freut mich, dass so rege über meine Aufgaben diskutiert wird :-)

Ich gebe euch recht, dass meine Lösung für f) und g) nicht stimmen können, 48 Möglichkeiten sind viel zu wenig wie org eindrucksvoll belegt hat.

Hingegen bin ich mir aber bei a bis e sicher, dass ich das richtig modelliert habe. Wisili ist auch der Meinung

(Frage mich ob org die 48 reihen selber geschrieben hat oder doch irgendeinen algorithmus bentutzt hat :-) )

Wie dem auch sei, nach wie vor bin ich der Auffassung, dass die Reihenfolge beachtet werden muss und das SPiel natürlich ohne zurücklegen gespielt wird.

Ich habe für f) immer noch keine Idee....

aber glaube, dass wenn man f hat, man dann recht schnell g herausbekommt.

29.09.2010, 20:13

Floyd

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf
Wisili hat nur geschrieben dass a bis e richtig seien --> f) und g) sind seiner Meinung nach auch falsch

29.09.2010, 23:11

org

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf

Zitat:

Original von Floyd
Wisili hat nur geschrieben dass a bis e richtig seien --> f) und g) sind seiner Meinung nach auch falsch

Oh ja, die Sache mit dem Alphabet... Hammer

Hammer

Zitat:

c) die Ersten 3 Würfe sollen gleich sein:
Wenn erster Wurf eine Zahl, dann hat man noch 2^(12-3) Möglichkeiten. Bei Kopf ebenso. Insgesamt also
2*2^(12-3)=2^10
oder liege ich da falsch??

Kann mir jemand meinen Fehler erklären ^^

Zur f)

220 ist richtig: http://pastebin.ca/1951384

Alogrithmus:

1#! /usr/bin/perl
2use strict;
3use warnings;
4
5
6my $i=0b0;
7my $end=0b111000000000;
8my $str;
9
10for($i=0; $i<=$end; $i++){
11 my $str=sprintf("%b",$i);
12 if( ($str=~s/1/1/g)==3 ) {
13 printf "%12s\n", $str;
14 }
15}

30.09.2010, 14:05

René Gruber

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf

Zitat:

Original von org
Zur f)

220 ist richtig: http://pastebin.ca/1951384

Alogrithmus:

1#! /usr/bin/perl
2use strict;
3use warnings;
4
5
6my $i=0b0;
7my $end=0b111000000000;
8my $str;
9
10for($i=0; $i<=$end; $i++){
11 my $str=sprintf("%b",$i);
12 if( ($str=~s/1/1/g)==3 ) {
13 printf "%12s\n", $str;
14 }
15}

Sehr eindrucksvoll, aber das schlichtere $\begin{eqnarray*} \binom{12}{3} = 220 \end{eqnarray*}$ tut es auch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.09.2010, 14:55

Floyd

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf
also müsste die Lösung für g)

12!/(3!*9!) + 12!/(2!*10!) + 12!/(1!*11!) = 364

sein

oder

$\begin{eqnarray*} \binom{12}{3} + \binom{12}{2} +\binom{12}{1} =364 \end{eqnarray*}$ ???

30.09.2010, 14:57

Floyd

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf
Nichtsdestotrotz verstehe ich inhaltlich nicht ganz so, wieso wir auf einmal die Reihenfolge nicht mehr beachten können bei f) ???

Würd mich freuen, wenn mir das jemand von euch nochmal verbal erklären könnte.

30.09.2010, 14:57

René Gruber

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Zum einen musst du dich bei einem der Werte verrechnet haben.

Zum anderen fehlt $\begin{eqnarray*} \binom{12}{0} = 1 \end{eqnarray*}$ , das ist die eine Möglichkeit, wo Zahl gar nicht auftaucht.

Zitat:

Original von Floyd
Nichtsdestotrotz verstehe ich inhaltlich nicht ganz so, wieso wir auf einmal die Reihenfolge nicht mehr beachten können bei f) ???

Wer sagt denn, dass die Reihenfolge nicht mehr beachtet wird? Das ist lediglich deine Fehlinterpretation dieses Wertes $\begin{eqnarray*} \binom{12}{3} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

Tatsächlich beschreibt $\begin{eqnarray*} \binom{12}{3} \end{eqnarray*}$ hier die Anzahl der Wahlmöglichkeiten der genau drei Positionen (!) unter 1..12, wo Zahl auftritt.

02.10.2010, 15:24

org

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RE: Kombinatorik - Münzenwurf

Zitat:

Original von René Gruber
Sehr eindrucksvoll, aber das schlichtere $\begin{eqnarray*} \binom{12}{3} = 220 \end{eqnarray*}$ tut es auch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich wollte das vom Anfang des Threads (2., 3. Post) "belegen".

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