Diracsche Deltadistribution

29.09.2010, 23:15	ebichu	Auf diesen Beitrag antworten »
Diracsche Deltadistribution Hallo zusammen. Ich soll folgenden zeigen, im zusammenhang mit der Dirac deltafunktion: $\begin{eqnarray} \delta(ax)=\frac{1}{\| a \| } \delta(x) \end{eqnarray}$ Hab nun wie folgt argumentiert: die deltadistribution ist per definition 0, wenn ihr argument ungleich 0 ist, ansonsten unendlich. Wenn ich diese Kombinationen von a und x dann auf der rechten seite einsetze, sieht man halt dass das auch tatsächlich stimmt. Nur gibt es dann halt etwas komische situationen, wenn ich zB a = 0 und x != 0 annehme, dann rechne ich "unendlich mal null". Deshalb meine frage: Wie kann ich das eleganter zeigen? 2. Problem: $\begin{eqnarray} \delta(f(x))=\sum\limits_{i} \frac{\delta(x-x_i)}{\| f'(x_i) \| } ,f(x_i)=0, f'(x_i)\neq 0 \end{eqnarray}$ versteh ich auch nicht so ganz. Also hier wird ja im prinzip einfach über die nullstellen von f(x) aufsummiert, denn nur diese haben einen beitrag zur diracdistribution. Folgendes check ich nicht: Wieso dividiert man durch den betrag der ableitung an der stelle x_i? Weil die diracdistri im zähler gibt ja entweder 0 oder unendlich, das spielt es doch gar keine rolle ob da noch durch irgendwas dividiert wird? hoffe jemand kann helfen lg ebichu
30.09.2010, 10:33	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich gehe davon aus, dass diese Aufgaben eher aus der Physik kommen oder? Jedenfalls brauchst du eine Definition mit welcher man die Eigenschaften nachweisen kann.Wie du selbst gemerkt hast, geht es mit unendlich nicht so gut. Ich habe jedenfalls diese hier kennengelernt: Als Funktional ist die Distribution definiert durch: $\begin{eqnarray} <br /> \delta(\phi) := (\delta, \phi) := (\delta(x),\phi(x)) := \phi(0)<br /> \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ eine glatte Funktion mit kompaktem Träger ist. In der Physik wird dabei oft geschrieben: $\begin{eqnarray} <br /> (\delta,\phi) = \int \limits_{\mathbb{R}}\delta(x)f(x)dx<br /> \end{eqnarray}$ Was eigentlich (nur) für reguläre Distributionen erstmal sinn macht. Das PRoblem ist jetzt, dass Aufgabe 1 bereits Definition ist, zumindest nach diesem Zugang. Welche Definition dieser Distribution habt Ihr den verwendet? Eine alternative Definition, welche dem schon eher entspricht, wäre die als Maß: $\begin{eqnarray} <br /> \delta(x) = 0, x\neq 0<br /> \delta(0) = 1<br /> \end{eqnarray}$ Damit ist dieses konform mit dem obigen wegen: $\begin{eqnarray} <br /> \int \limits_{\mathbb{R}}\delta(x)\phi(x)dx = \phi(0)<br /> \end{eqnarray}$ Hier kannst du $\begin{eqnarray} \delta(ax) \end{eqnarray}$ einsetzen und substitutionieren: $\begin{eqnarray} <br /> \int \limits_{\mathbb{R}}\phi(x)\delta(ax)dx = \int \limits_{\mathbb{R}} \phi(\frac{y}{a})\frac{\delta(y)}{\|a\|}dy = \frac{\phi(\frac{0}{a})}{\|a\|} = \frac{\phi(0)}{\|a\|}<br /> \end{eqnarray}$ Dabei muss man die letzten Zeilen als Maß auffassen. mfg

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