Zwei Aufgäbchen zur QR-Zerlegung

30.09.2010, 12:55	Pseudonym	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Aufgäbchen zur QR-Zerlegung Hi. Nachfolgend sind meine Lösungen für zwei Aufgaben zum Thema QR-Zerlegung. Da ich nicht gut in Mathe bin und auch keine Lösungen vorliegen habe, wäre es toll, wenn jemand das (hoffentlich) abhaken könnte. Nummer Eins: Sei $\begin{eqnarray} X \in R^{nxn}, ~Y \in R^{nxn} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ eine invertierbare, obere Dreiecksmatrix ist. Wie läßt sich eine QR-Zerlegung von $\begin{eqnarray} XY^{-1} \end{eqnarray}$ aus einer QR-Zerlegung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gewinnen? Idee: Nach Voraussetzung gibt es eine Zerlegung, sodass $\begin{eqnarray} X = QR \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ orthogonal, $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ obere Dreiecksmatrix. Das heisst: $\begin{eqnarray} XY^{-1} = QRY^{-1} = QR' \end{eqnarray}$ In den Übungen hatten wir damals folgendes bewiesen: $\begin{eqnarray} X, Y \in R^{nxn} \end{eqnarray}$ sind obere Dreiecksmatrizen, und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ invertierbar. Dann gilt: $\begin{eqnarray} X \cdot Y \end{eqnarray}$ ist obere Dreiecksmatrix und $\begin{eqnarray} Y^{-1} \end{eqnarray}$ ist obere Dreiecksmatrix. Das heisst dann ja $\begin{eqnarray} R' = R \cdot Y^{-1} \end{eqnarray}$ ist eine obere Dreiecksmatrix. Also ist $\begin{eqnarray} QRY^{-1} \end{eqnarray}$ eine QR-Zerlegung von $\begin{eqnarray} XY^{-1} \end{eqnarray}$ . War's das dann schon? Nummer Zwei Wie sieht eine QR-Zerlegung von $\begin{eqnarray} Z^TX \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} Z \in R^{nxn} \end{eqnarray}$ eine orthogonale Matrix ist und $\begin{eqnarray} X \in R^{nxn} \end{eqnarray}$ die QR-Zerlegung $\begin{eqnarray} X = QR \end{eqnarray}$ besitzt? Idee: Ähnlich wie oben. Die Zerlegung ist $\begin{eqnarray} Z^TX = Z^TQR = Q'R \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} Q'^TQ' = (Z^TQ)^T(Z^TQ) = Q^T\underbrace{ZZ^T}_{= I}Q = Q^TQ = I \end{eqnarray}$ , also ist Q' orthogonal. War's das dann schon?
30.09.2010, 13:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwei Aufgäbchen zur QR-Zerlegung Etwas seltsam, die Aufgaben. Aber ich sehe da auch nur die 2 Aussagen: * Inverse eine ODreiecksmatrix ist eine ODreiecksmatrix + Produkt von ODreiecksmatrizen ist ODreiecksmatrix * Transponierte=Inverse orthogonale Matrix ist Orthogonal + Produkt von Orthogonalen Matrizen ist Orthogonal.
30.09.2010, 13:17	Pseudonym	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey. Vielen Dank! Somit hat die Aufgabe ihren Schrecken verloren =)

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