Induktionsbeweise

09.11.2006, 18:23

Marlon

Induktionsbeweise

Hi,

allgemeine Frage, bezieht sich auf das Beweisen von Summenformel. Wenn wir z.B. die Gaussche Summenformel beweisen wollen, so schreiben wir anfangs noch mit n, also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k=\frac{k(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

danach (ab der Induktionsvorraussetzung) wechselt man dann aber häufig zu dem Buchstaben k:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k=\frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Was soll dieser Buchstaben bzw. Variablenwechsel? Und muss man dann nicht auch beim Summenzeichen das k=1 ändern?

09.11.2006, 18:24

Marlon

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Für ersteres meinte ich natürlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

09.11.2006, 18:34

vektorraum

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Hi!

Also wenn du so eine Aussage für alle natürlichen Zahlen beweisen willst, dann nimmt man das Beweisverfahren der vollständigen Induktion. Dass heißt, du zeigst es erst einmal für n=1 (das ist deine Índuktionsvoraussetzung). Dann sei es bereits für n gezeigt und nun noch für n+1 (Induktionsschritt). D.h. du setzt auf deiner linken Seite für n einfach n+1 ein und versuchst duruch ein bisl umformen die Induktionsvoraussetzung einzusetzen und dann die Aussage auf der rechten Seite für n+1 zu erhalten.
Warum ihr allerdings einen Variablenwechsel vollzieht ist unverständlich, weil man es auch so hinbekommt - habt ihr das so gelernt???

09.11.2006, 18:39

Marlon

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Naja, ich weiß ja wie das geht, war ja nur die Frage wegen den Variablen.

Bei Wikipedia wird das übrigens auch gemacht:
http://de.wikipedia.org/wiki/Induktion_(Mathematik)#Beispiel

09.11.2006, 18:39

Dual Space

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RE: Induktionsbeweise

Zitat:

Original von Marlon
danach (ab der Induktionsvorraussetzung) wechselt man dann aber häufig zu dem Buchstaben k:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k=\frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

So wie das da steht ist das natürlich falsch, aber ich weiß was du meinst. Manche verwenden in der Induktionsvoraussetzung einen anderen Buchstaben als n, um deutlich zu machen, dass die Voraussetzung nur für ein n gelte und nicht etwa für alle.

09.11.2006, 18:56

Marlon

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Wäre es denn falsch auf den ganzen Kram zu verzichten und immer n zu schreiben? Nein, oder?

Und wieso genau ist das so falsch, Dual Space?

09.11.2006, 19:00

Dual Space

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Zitat:

Original von Marlon
Wäre es denn falsch auf den ganzen Kram zu verzichten und immer n zu schreiben?

Nein, aber du solltest dazu schreiben: "Die Voraussetzung gelte für ein festes n.", oder ähnliches.

Zitat:

Und wieso genau ist das so falsch, Dual Space?

Weil die Variable auf der rechten Seite mit der Summationsgrenze (der linken Seite) übereinstimmen muss.

09.11.2006, 19:03

Marlon

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So wäre es also richtig?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^k~k=\frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^n~n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

09.11.2006, 19:44

Dual Space

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Zitat:

Original von Marlon
So wäre es also richtig?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^k~k=\frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Jein. Du meinst sicherlich sowas:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^k~i=\frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

denn der Summationsindex sollte sich von der Summationsgrenze unterscheiden.

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