Multilinear Abbildung

30.09.2010, 16:54	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Multilinear Abbildung Hi, Weshalb ist eine symmetrische multilineare Abbildung durch ihre Werte auf der Diagonalen eindeutig bestimmt? Oder anders: Sei $\begin{eqnarray} T(X_1, ..., X_k) \end{eqnarray}$ eine symmetrische multilineare Abbildung, so dass $\begin{eqnarray} T(X, ..., X) = 0 \end{eqnarray}$ für alle X. Weshalb gilt dann $\begin{eqnarray} T = 0 \end{eqnarray}$ ? Ich denke mal, dass man das durch Induktion hinbringen sollte. Und den Fall n=2 kriege ich auch hin: $\begin{eqnarray} 0 = T(v+w, v+w) = T(v,v) + 2T(v,w) + T(w,w) \; \Rightarrow \; T(v,w) = 0 \end{eqnarray}$ Sei nun also $\begin{eqnarray} T(X, ..., X) = 0 \, \forall X \end{eqnarray}$ ... Nahe liegend wäre jetzt ein X festzuhalten und $\begin{eqnarray} S_X(X_1, ..., X_k) := T(X_1, ..., X_k, X) \end{eqnarray}$ zu definieren, aber ich bezweifle ein wenig, dass das was bringt.
01.10.2010, 08:27	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz ist schon richtig. Beachte: $\begin{eqnarray} T(X + kY, ...,X+kY)= T(X,...,X) + \sum\limits_{i=1}^{n-1} k^i \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} T(X,...,X,Y,...Y) + k^n T(Y,...Y) \end{eqnarray}$ und insbesondere, was daraus für $\begin{eqnarray} T(X, ...,X, Y) \end{eqnarray}$ folgt.
01.10.2010, 10:53	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multilinear Abbildung Mich würde zuerst mal interessieren, von was für einer Abbildung wir hier überhaupt reden, also welcher Struktur die $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ entstammen und vor allem wohin überhaupt abgebildet wird. So eine 0 kann schließlich alles mögliche sein. Gruß, Reksilat.
01.10.2010, 11:11	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah! Ja, das ist natürlich gut, da ein k einzuführen. Dann ist klar, dass alle T(x,...x, y,...,y) null sein müssen und somit ergibt sich die Behauptung. Danke Felix!
01.10.2010, 13:12	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich sehe das nicht. Angenommen man hat $\begin{eqnarray} T: \mathbb R^2\times\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray}$ und ich schreibe $\begin{eqnarray} T(X+3Y,X+3Y,X+3Y) \end{eqnarray}$ aus, dann bekomme ich $\begin{eqnarray} 9T(X,X,Y)+18T(X,Y,Y)=0 \end{eqnarray}$ . Was nun wenn man die Basis $\begin{eqnarray} e_1,e_2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ nutzt und $\begin{eqnarray} T(e_1,e_1,e_2)=-2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T(e_1,e_2,e_2)=1 \end{eqnarray}$ setzt? Damit wäre die obige Bedingung mit $\begin{eqnarray} X=e_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y=e_2 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ist nicht die Nullabbildung. Kann mir jemand meinen Fehler sagen?
01.10.2010, 13:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
@system-agent: Man wählt das $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ eben nicht fest und interpretiert Felix' Gleichung als Polynomgleichung in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} K=3 \end{eqnarray}$ wäre in Deinem Fall eben eine Nullstelle des Polynoms, aber davon gibt es nur endlich viele. Für andere $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ wird dann nicht mehr $\begin{eqnarray} T(X+KY,X+KY,X+KY)=0 \end{eqnarray}$ sein.
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01.10.2010, 16:33	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Reksilat, jetzt sehe ich es auch .

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