Fundamentalform

09.11.2006, 17:35

Ambrosius

Fundamentalform

Ich habe eine Fläche im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ gegeben, die wie folgt definiert ist

$\begin{eqnarray*} S := \{ (x,y,f(x,y)) \mid (x,y) \in U \subseteq \mathbb{R}^2 \} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ offen und f eine unendlich oft differenzierbar ist.

Wen ich von der Fläche nun die erste Fundamentalform bestimmen soll. Wie gehe ich da vor? Ich habe mir einen beliebigen Punkt p gewählt. Dann die Tangentialebene, die p enthält.

Nun nehme ich mir zwei Vektoren die in dieser Ebene enthalten sind, dargestellt als p+Linearkombination von $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ (Ableitung von f nach x) und $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ (Ableitung von f nach y) und bilde das Skalarprodukt.

Geht das so?

09.11.2006, 18:38

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fundamentalform
Hier findest du eine Erklärung mit Beispiel. Du musst im Wesentlichen die partiellen Ableitungen bestimmen und damit E, F, G ausrechnen.

Grüße Abakus smile

09.11.2006, 18:56

Ambrosius

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir den Artikel schon durchgelesen. Das Problem ist nur, das in der Vorlesung E,F,G (noch) nicht definiert wurde.

09.11.2006, 19:07

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ambrosius
Das Problem ist nur, das in der Vorlesung E,F,G (noch) nicht definiert wurde.

Dann kommt es noch (falsches Timing) oder es wird vorausgesetzt. Zur Not kannst du es ja selbst definieren und dann berechnen Augenzwinkern

.

Grüße Abakus smile

09.11.2006, 19:08

Ambrosius

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dann werd ich das machen. hab da noch ne aufgabe, für ne rotatiosnfläche, die auch nicht explizit gegeben ist, sondern nur über x,y,z. wenn ich da alles zu fuß mache rechne ich mir nen Wolf und erhalte ellenlange ergebnisse.

09.11.2006, 19:27

Ambrosius

Auf diesen Beitrag antworten »

eine frage hab ich noch. das wird mit aus dem Wiki Artikel nicht ganz klar:

Wenn ich nun die Koeffizienten E,F,G berechnet habe. Dann ist v ein Tangentialvekotr und somit darstellbar als $\begin{eqnarray*} v = a \cdot \alpha_x + b \alpha_y \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Parametrisierung der Fläche ist.

Dann ist die erste Fundamentalform gegeben als

$\begin{eqnarray*} I (v) = a^2 E + 2ab F + b^2 G \end{eqnarray*}$ ??

09.11.2006, 22:16

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ambrosius
Dann ist die erste Fundamentalform gegeben als

$\begin{eqnarray*} I (v) = a^2 E + 2ab F + b^2 G \end{eqnarray*}$ ??

Von irgendeinem Normalenvektor würde ich das ungerne abhängig machen wollen.

Ich würde die Definition mit Differentialen nehmen:

Zitat:

Definition Erste Fundamentalform:
$\begin{eqnarray*} ds^2 = E~ du^2 + 2F~du~dv + G~ dv^2,~ E = a_u \cdot a_u,~F = a_u \cdot a_v,~G = a_v \cdot a_v \end{eqnarray*}$ heißt erste Fundamentalform des Flächenstücks a.

Grüße Abakus smile

10.11.2006, 09:14

Ambrosius

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Wieso abhängig von Normalenvektor? Ist doch eine Lin-Kombi der Tangential-Basis

2. Die Differentialschreibweise sagt mir nix. was bedeutet du^2

10.11.2006, 12:43

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ambrosius
1. Wieso abhängig von Normalenvektor? Ist doch eine Lin-Kombi der Tangential-Basis

Ja, ich meinte hier Tangentialvektor statt Normalenvektor.

Zitat:

2. Die Differentialschreibweise sagt mir nix. was bedeutet du^2

$\begin{eqnarray*} du^2 = (du)^2 \end{eqnarray*}$ . Das ist das Differential von u.

Wenn dir die Schreibweise nicht behagt, setze einfach eine Kurve ein:

Zitat:

Definition Erste Fundamentalform (Version II):
$\begin{eqnarray*} E \cdot (\varphi'_1(t))^2 + 2F \cdot \varphi'_1(t) \cdot \varphi'_2(t) + G \cdot (\varphi'_2(t))^2,~ \text{mit } E = a_u \cdot a_u,~F = a_u \cdot a_v,~G = a_v \cdot a_v \end{eqnarray*}$ heißt erste Fundamentalform des Flächenstücks a.

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

Fundamentalform

Verwandte Themen