Kombination (Binomialkoeffizient)

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Mathe_für_Dummies Auf diesen Beitrag antworten »
Kombination (Binomialkoeffizient)
Meine Frage:
"Es seien natürliche Zahlen mit und . Berechnen Sie die Anzahl Möglichkeiten aus N Personen, n Gruppen à jeweils Personen zu wählen."

Meine Ideen:
1. Ich weiss nicht, ob ich die Frage richtig verstanden habe. Ist es so gemeint, dass wenn ich z.B. 9 Personen habe, dass ich nur 1er, 3er und 9er Gruppen machen darf?

2. Was ich überlegt habe ist folgendes:
N = 1 (1 tief 1)
N = 2 (2 tief 1) + (2 tief 2)
N = 3 (3 tief 1) + (3 tief 3)
N =4 (4 tief 1) + (4 tief 2) + (4 tief 4)
... bis N = 10 (10 tief 1) + (10 tief 2) + (10 tief 5) + (10 tief 10)

Falls N = {m1, ..., mn} eine Primzahl ist,
dann P = (n tief 1) + (n tief n) für alle n "grösser gleich" 1.

Falls N = {m1,...,mn} keine Primzahl ist, dann...

Hier stecke ich fest. Ich weiss nicht, wie ich meinen Fund in Formeln darstellen soll. Mit dem Formel will ich ausdrücken, dass die im unteren Teil der Binomialkoeffizienten, alle Teiler der Anzahl Personen N, einmal stehen müssen.
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst mir zu kompliziert Augenzwinkern

Bei Personen kann man unterstellen, dass sie unterscheidbar sind, aber die Reihenfolge egal ist.

Man muss für diese Aufgabe unterstellen, dass 0 eine natürliche Zahl ist, denn für , würde gelten, dass , denn es gäbe ja mindestens Gruppen und wenn es "nur" Personen gibt, muss jede Gruppe (wenn sie nicht aus 0 Personen bestehen darf) mindestens 1 Person enthalten.

Ich empfehle dir folgendes Modell:

Die Personen stehen in einer Reihe.
Du bringst zwei Meter vor die Personen nun Wände an, die die Gruppen repräsentieren.
z.B. so für und 9 Gruppen, die mehr als 0 Personen enthalten (nämlich 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 2 und 2)
Erste Zeile die Menge Personen und zweite Zeile die Wände.
code:
1:
2:
Personen: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
Wände  : I I   I I     I   I       I     I   I   I

Jetzt werden die Personen in der ersten Zeile gemischt.
Wieviele Möglichkeiten gibt es?

Anschließend treten sie einen Schritt vor und gehen in die Räume, die durch die Wände getrennt sind. Das sieht dann so aus:
code:
1:
Personen treten in die Räume ein: I o I o o I o I o o o I o o I o o o o I o o o I o o I o o I

Jetzt kann es ja passieren, dass Person Nummer 2 der Max ist und Person Nummer 3 der Moritz. Sie sind im gleichen Raum gelandet. Wenn jetzt Person Nummer 2 der Moritz wäre und Person Nummer 3 der Max, dann wären sie immernoch im gleichen Raum.
Du musst also die vielen Möglichkeiten, die Personen zu mischen um die Möglichkeiten kürzen, die gleich sind bezüglich der Raumbelegung.
Wieviele Möglichkeiten gibt es da für die einzelnen Räume?

Wie sieht die gesamte Zahl der Möglichkeiten aus?

Nimm ruhig erstmal das Beispiel mit konkreten Zahlen und überlege dann, wie es allgemein aussieht. Du musst, wenn du am Beispiel bleibst zunächst mal den vielen eine Zahl zuweisen, die entspricht der Größe des Raums. Es gibt nur 9 Räume, aber 20 , also sind 11 (welche das sind, ist nicht eindeutig) gleich 0.
Mathe_für_Dummies Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du etwa damit die "Kästchenmethode" (Kombination mit Wiederholung)... Denn diese "Wände" kommen mir bekannt vor.
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Kenne es eher als Kugel-Fächermodell.
Aber dabei hat man eine gewisse Anzahl an Fächern (die beliebig voll werden können) und führt dann unabhängige Belegungen der Fächer aus.

Es handelt sich hier ja auch nicht um eine Kombination mit Wiederholung (zumindest fiele mir kein Modell ein, dass das zuließe).
Mathe_für_Dummies Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es jetzt mit einem kleineren Zahl n=4 versucht. Aber ich verstehe noch nicht ganz, wie (und vor allem: WARUM) ich das so machen soll?

Als ein einfaches Beispiel habe ich nun N=4 und 2 Gruppen gewählt:

Das heisst ja, Ich mache je ein Wand am rechten und linken Seite und wenn ich zwei Gruppen machen will, sind ja folgende Gruppierung möglich (1,3) und (2,2). Wie mache ich das nun. Ich habe mal alle möglichen Gruppierung aufgeschrieben. Das wären ja insgesamt 7 Möglichkeiten:

12 34
13 24
14 23
1 234
2 134
3 124
4 123
Also 4 Personen und 3 Wände.

Egal wie ich es auch versuche. Ich komme nie auf 7. Je nachdem wie ich es rechne, komme ich auf 6, 10 oder 30. Aber nie 7!

Was mache ich denn falsch?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Laaangsam.

Du musst vorher festlegen welche Gruppen wie groß sind.

Also z.B. Gruppe 1: 2 groß; Gruppe 2: 2 groß (Gruppe 3 und 4 also 0 groß).

Überlege dir nochmal sauber alle möglichen Fälle.
Mir fehlt z.B. der Fall, dass Person 2 und 3 in Gruppe 1 sind...
 
 
Mathe_für_Dummies Auf diesen Beitrag antworten »

Aber in der Aufgabenstellung heisst es ja n gruppen à jeweils mi Personen...

Das heisst ja, z.B. 3 Gruppen à 2 Personen oder 6 Gruppen à 5 Personen.

Oder etwa nicht?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass es insgesamt eben immer n Personen sind.

Aber wie sieht denn die Formel aus für die 4 Personen und 2 2er Gruppen?
Und dann für die 4 Personen bei einer 1er und einer 3er Gruppe?
Mathe_für_Dummies Auf diesen Beitrag antworten »

bei 2er Gruppen habe ich folgender massen gerechnet (4 tief 2) * (2 tief 2) Wobei 2 tief 2 ja 1 gibt.

bei einer 1er und einer 3er gruppe (4 tief 3) * (1 tief 1)...

Stimmt das denn?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist ein möglicher Weg, der kommt aufs gleiche heraus.

Dein Modell ist quasi das gleiche, nur dass du die Gruppen nach und nach besetzt:
Also erst pickst du Gruppe 1 heraus. Dann Gruppe 2 aus der verbliebenen Menge. Dann Gruppe 3, usw.

Rechnerisch ist es auch das gleiche.

Wie lautet dann die allgemein Formel?
Mathe_für_Dummies Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich ja eben das Problem...

Ich finde den allgemeinen Formel nicht. Ich weiss nicht, wie ich das darstellen soll.

Hättest du vielleicht einen Vorschlag (oder mindestens ein Hinweis), wie ich das machen könnte?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie hängt denn der erste Binomialkoeffizient mit den gegebenen Zahlen zusammen?

Er lautet bei (sagen wir Gruppe 1 hat 3, Gruppe 2 hat 1 Person):



Wie könnte er im allgemeinen Fall lauten?
Mathe_für_Dummies Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss nicht ob ich viiiiel zu weit überlege:

Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kamst du darauf? Das verstehe ich nicht...

Es ist doch im Beispiel (sagen wir Gruppe Nr. 1 hat 3 Personen, Gruppe Nr. 2 hat 1 person, Gruppe Nr. 3 und Gruppe Nr. 4 haben keine Person):

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