Anzahl Möglichkeiten/Binomialkoeffizient

30.09.2010, 22:16

pablosen

Anzahl Möglichkeiten/Binomialkoeffizient

Hallo liebes Forum

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

$\begin{eqnarray*} N, n, m_1, m_2, ... , m_n \end{eqnarray*}$ seien natürliche Zahlen mit $\begin{eqnarray*} N \geq 1 , 1 \leq n \leq N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_1 + m_2 + ... + m_n = N \end{eqnarray*}$ . Berechne die Anzahl Möglichkeiten aus $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Personen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Gruppen à jeweils $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ Personen zu wählen für $\begin{eqnarray*} i \in \{ 1,...,n \} \end{eqnarray*}$ .

Meine Überlegungen bisher:

Ich wähle aus $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Personen $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ Personen aus. Wenn $\begin{eqnarray*} m_1 \neq N \end{eqnarray*}$ , wähle ich nach diesem Schritt $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ Personen aus $\begin{eqnarray*} N-m_1 \end{eqnarray*}$ Personen aus, usw... was mir ergibt:

$\begin{eqnarray*} \binom {N} {m_1} + \binom {N-m_1} {m_2} + \binom {N-m_1-m_2} {m_3} + ... + \binom {m_n} {m_n} \end{eqnarray*}$

Was meint ihr, bin ich auf dem richtigen Weg?
Grüsse
Pablo

01.10.2010, 08:12

Felix

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Du musst die Binomialkoeffizienten multiplizieren nicht addieren. Das wäre dann die Anzahl der Möglichkeiten, wenn du die Reihenfolge nicht beachtest.

01.10.2010, 10:03

pablosen

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Ich bedanke mich.

02.10.2010, 20:39

pablosen

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Es ist bei dieser Aufgabe aber die Reihenfolge vernachlässigbar, hab ich Recht?

Denn die Gruppe mit den Personen $\begin{eqnarray*} a, b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist ja stets dieselbe wie die mit den Personen $\begin{eqnarray*} b,a,c \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} c,a,b \end{eqnarray*}$ ?

02.10.2010, 21:55

wisili

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Ja, die Reihenfolge der Personen innerhalb einer Gruppe wird nicht berücksichtigt.
Die Reihenfolge der Gruppen dagegen kann man gar nicht verwischen, solange die Gruppengrössen m_i paarweise verschieden sind. Sind aber etliche gleich gross, dann stellt sich die Frage, ob diese Gruppen durch ihren Namen individualisiert sind, oder aber ob sie als identisch zu behandeln sind. Das muss dann der Kontext klären. (Die oben genannte (als multiplikativ korrigierte) Formel stimmt (nur) für unterscheidbare Gruppengefässe.)

02.10.2010, 22:05

pablosen

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Zitat:

Original von wisili
Ja, die Reihenfolge der Personen innerhalb einer Gruppe wird nicht berücksichtigt.
Die Reihenfolge der Gruppen dagegen kann man gar nicht verwischen, solange die Gruppengrössen m_i paarweise verschieden sind. Sind aber etliche gleich gross, dann stellt sich die Frage, ob diese Gruppen durch ihren Namen individualisiert sind, oder aber ob sie als identisch zu behandeln sind. Das muss dann der Kontext klären. (Die oben genannte (als multiplikativ korrigierte) Formel stimmt (nur) für unterscheidbare Gruppengefässe.)

Aber wie finde ich denn eine Formel, die für alle Fälle stimmt?

....gibt es das?

Die Aufgabe steht wie oben da...hmm

02.10.2010, 22:17

wisili

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Statt zu zitieren solltest du lesen. (Die Aufgabe in der präsentierten Form hat die beschriebene Unschärfe.)

02.10.2010, 22:52

pablosen

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Also für paarweise verschiedene Gruppen:

$\begin{eqnarray*} \binom {N} {m_1} * \binom {N-m_1} {m_2} * \binom {N-m_1-m_2} {m_3} * ... * \binom {m_n} {m_n} \end{eqnarray*}$

Wenn etliche Gruppen gleich sind, d.h. $\begin{eqnarray*} m_1 = m_2 = ... = m_n \end{eqnarray*}$ und diese Gruppen identisch zu behandeln sind:

$\begin{eqnarray*} <br /> \binom{N}{m_1}-N+1<br /> \end{eqnarray*}$

Und wenn $\begin{eqnarray*} m_1 = m_2 = ... = m_n \end{eqnarray*}$ und diese Gruppen individuell zu behandeln sind:

$\begin{eqnarray*} <br /> (\binom{N}{m_1}-N+1)*(\frac{N}{m_1})<br /> \end{eqnarray*}$

Stimmt das denn soweit? Ich krieg keine Formel für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gleiche Gruppen und $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ gleiche Gruppen.

03.10.2010, 08:43

wisili

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Deine zweite und dritte Formel kann ich nicht nachvollziehen.

Aber $\begin{eqnarray*} \binom{N}{m_1} \cdot \binom{N-m_1}{m_2} \cdot \binom{N-m_1-m_2}{m_3} \cdot ...\cdot \binom{m_n}{m_n} \end{eqnarray*}$

ist sicher dann richtig, wenn die mi alle verschieden sind. In diesem Fall kann man die Formel auch noch anders (einfacher?) schreiben: Ersetzt man alle Binomialkoeffizienten je durch den bekannten Bruch mit Fakultäten und kürzt, dann resultiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{N!}{m_1!\cdot m_2!\cdot ...\cdot m_n!} \end{eqnarray*}$

Sind nun alle mi identisch (nämlich N/n), dann müsste man (für nicht mehr unterscheidbare Gruppengefässe) alles zusätzlich noch durch n! teilen.

Sind aber nur m1=m2=m3, dann müsste man durch 3! teilen, usw.

03.10.2010, 11:44

pablosen

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Zitat:

Original von wisiliSind aber nur m1=m2=m3, dann müsste man durch 3! teilen, usw.

Und wenn diese 3 Gruppengefässe individualisiert sind, wiederum mit 3 multiplizieren, oder?

03.10.2010, 12:25

wisili

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... wenn diese 3 Gruppengefässe individualisiert sind, dann gilt die genannte Formel.

03.10.2010, 19:07

pablosen

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Zitat:

Original von wisiliSind nun alle mi identisch (nämlich N/n), dann müsste man (für nicht mehr unterscheidbare Gruppengefässe) alles zusätzlich noch durch n! teilen.

Sind aber nur m1=m2=m3, dann müsste man durch 3! teilen, usw.

Hmm, aber auf eine allgemeingültige Formel für nicht unterscheidbare, gleiche Gefässe bin ich bisher immer noch nicht gekommen. Gibt es eine solche allgemeingültige Formel oder muss man dann einfach immer für die verschiedenen Beispiele wie du erwähntest, bei 3 durch 3! teilen, für 2 durch 2!, usw...?

Wenn jeweils 2 gleich und 3 andere ebenfalls gleich, durch (3! * 2!), usw...

03.10.2010, 20:29

wisili

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Ja, du beschreibst die verschiedenen Fälle richtig. Aber wie du dir ein allgemeingültige Formel vorstellst, weiss ich nicht. Da müssten ja alle möglichen Aufteilungen der jeweils gleichgrossen Gruppen in die Formel einsetzbar sein ...
Ein Sachverhalt, der in gutem Deutsch verfasst ist, kann eine Formel durchaus adäquat ersetzen.

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