Produkt zweier Sigma Algebren

01.10.2010, 16:01

Black

Produkt zweier Sigma Algebren

Offenbar ist das Produkt zweier Sigma Algebren im allgemeinen keine Sigma Algebra, sondern nur ein Halbring. Ich hab nur nicht verstanden warum in diesem Halbring $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ nicht enthalten sein muss.

Wenn doch $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$ in den Algebren $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ enthalten ist, dann muss doch auch $\begin{eqnarray*} (\Omega_1,\Omega_2) \end{eqnarray*}$ im Produkt drin sein, oder wo liegt mein Denkfehler?

02.10.2010, 12:35

Black

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Kann mir denn niemand helfen?

Mein Problem ist eigentlich schon, dass ich mir nicht genau sicher bin, wie die Elemente der Produkt Sigma Algebra aussehen.

Wenn zb $\begin{eqnarray*} \sigma = \{\{1\},\{2\},\{1,2\},\varnothing\} \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun das Produkt $\begin{eqnarray*} \sigma * \sigma \end{eqnarray*}$ betrache, sieht das dann in etwa so aus? $\begin{eqnarray*} \sigma * \sigma = \{ \{(\{1\},\{1\})\},\{(\{1\},\{1,2\})\},...\} \end{eqnarray*}$

Also wären die Elemente des Produkts Mengen, die Tupel enthalten - und diese Tupel müssten ja wiederum aus Mengen bestehen?

02.10.2010, 13:29

Lord Pünktchen

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Ich vermute mal das du mit Produkt das kartesische Produkt meinst.

Dann wäre $\begin{eqnarray*} \sigma \times \sigma = \left\{(x,y)|x,y\in \sigma \right\} \end{eqnarray*}$

und ja es sähe so in etwa aus wie du es hingeschrieben hast ...

02.10.2010, 13:32

Black

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Nur, warum ist das keine Sigma Algebra mehr?
Abgesehen von $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ ist doch alles im Produkt drinne? Oder ist das \Omega des Produkts nicht $\begin{eqnarray*} \{(\Omega_1,\Omega_2)\} \end{eqnarray*}$

02.10.2010, 15:49

gonnabphd

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Hi,

Beachte, dass die Vereinigung von Rechtecken $\begin{eqnarray*} (\Omega_1 \times \Omega_2) \cup (\Omega_1' \times \Omega_2') \end{eqnarray*}$ im allgemeinen kein Rechteck mehr ist!

Das selbe Problem hat man auch in der Topologie mit der Definition der Produkttopologie zweier topologischer Räume.

02.10.2010, 16:09

Black

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Sorry, aber das hilft mir beim Verständnis, welche Menge bzw. Mengen welcher Art $\begin{eqnarray*} \sigma \times \sigma \end{eqnarray*}$ zur Sigma Algebra "fehlen", nicht weiter.

02.10.2010, 16:29

gonnabphd

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Doch, eigentlich tut es das.

Nimm z.B. die Borelalgebra $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Die Mengen $\begin{eqnarray*} [0,1] \times [0,1], \; [1,2]\times [1,2] \end{eqnarray*}$ liegen offensichtlich in $\begin{eqnarray*} \mathcal B \times \mathcal B \end{eqnarray*}$ , wäre das nun eine Sigma-Algebra, dann musste also auch

$\begin{eqnarray*} [0,1] \times [0,1] \cup [1,2]\times [1,2] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathcal B \times \mathcal B \end{eqnarray*}$ liegen.

Somit müsste es Mengen $\begin{eqnarray*} X, Y \in \mathcal B \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} X \times Y = [0,1] \times [0,1] \cup [1,2]\times [1,2] \end{eqnarray*}$ .

Aber solche Mengen kann es natürlich nicht geben (betrachte die Projektionen der Mengen...). Deshalb ist $\begin{eqnarray*} \mathcal B \times \mathcal B \end{eqnarray*}$ keine Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Oder in Kurzform:

Zitat:

02.10.2010, 16:34

Black

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Danke, jetzt hab ich es geblickt.

01.12.2012, 10:02

Scoobay

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RE: Produkt zweier Sigma Algebren
Das verwundert mich aber, denn auf Wikipedia steht das Gegenteil. Hier ist das kartesische Produkt mehrerer borelscher Sigma Algebren wieder eine borelsche Sigma Algebra.

http://de.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-Algebra#Beispiele_2

Sorry, dass ich diesen alten Thread rausgekramt habe,

01.12.2012, 11:45

HAL 9000

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Das hast du gründlich missverstanden: Dort im Beispiel 2 ist von der Produkt-Sigmaalgebra die Rede, die ist nicht nur das kartesische Produkt der Ausgangs-Sigmaalgebren, sondern die kleinste Sigmaalgebra, die dieses kartesische Produkt als Teilmenge enthält. Eben darum ging es doch in diesem Thread hier! unglücklich

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