Lösung einer Wurzelgleichung

Neue Frage »

01.10.2010, 21:19	Ohla	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung einer Wurzelgleichung Meine Frage: Hallo meine Frage ist wie man schriftlich so eine Gleichung nach x auflöst? $\begin{eqnarray} \sqrt{x+5}+\sqrt{x+1}=4 \end{eqnarray}$ Ich bin Dankbar für jeden Lösungsvorschlag! Meine Ideen: durch probieren habe ich natürlich x=1,25 rausbekommen. Doch wie kann man das Schriftlich nach x auflösen? Wenn ich es auflöse fällt das x komplett weg.
01.10.2010, 21:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Einen Wurzelterm nach rechts bringen, quadrieren, reduzieren. Die letzte Wurzel isolieren, danach nochmals quadrieren. x fällt NICHT weg. Offensichtlich hast du falsch quadriert! Binomische Formel beachten! Achtung: 1. Zunächst ist die Definitionsmenge der Gleichung zu bestimmen! 2. Durch das Quadrieren können falsche Lösungen entstehen. Daher unbedingt die Probe durchführen! mY+
01.10.2010, 21:46	Ohla	Auf diesen Beitrag antworten »
ok wurzelterm nach rechts bringen und das ganze quadrieren habe ich verstanden. Wenn ich quadriere fällt ja die Wurzel weg und aus 4 wird 16? aber was ist mit dem Reduzieren und Isolieren gemeint ? Ein Beispiel wäre wirklich Grandios! Danke für die Hilfe
01.10.2010, 21:49	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest beim quadrieren beachten, dass du dann eine binomische Formel hast
02.10.2010, 00:07	Ohla	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok ich glaube es ist mir nun klar. Noch eins, die Definitionsmenge wie geb ich die an? ich weiß dass das unter der Wurzel nicht negativ sein darf ,dass wäre jetzt beim beispiel x<-1 und x<-5 oder? wie schreib ich dass nun ordnungsgemäß hin?
02.10.2010, 00:21	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} D=\{x \in \mathbb R \| x\geq -1\} \end{eqnarray}$
Anzeige

02.10.2010, 01:09	Ohla	Auf diesen Beitrag antworten »
und was ist mit den -5?
02.10.2010, 09:03	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Definitionsbereich umfasst diejenigen reellen Zahlen, die sowohl größergleich -5 als auch größergleich -1 sind. Überlege dir, welche Zahlen beide dieser Eigenschaften erfüllen.
02.10.2010, 10:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auch mit der dritten binomischen Formel arbeiten. Mit $\begin{eqnarray} u = \sqrt{x+5} \, , \ \ v = \sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ ist die Gleichung $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ u+v = 4 \end{eqnarray}$ zu lösen. Nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray} u-v \end{eqnarray}$ entsteht daraus wegen der dritten binomischen Formel $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ u-v = 1 \end{eqnarray}$ Die Multiplikation von $\begin{eqnarray} \text{(1)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u-v \end{eqnarray}$ ist eine Äquivalenzumformung, denn der Fall $\begin{eqnarray} u=v \end{eqnarray}$ kann nach Definition von $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ sicher nicht eintreten. Das lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \text{(1),(2)} \end{eqnarray}$ läßt sich leicht lösen. Und wenn $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ dann nichtnegativ ausfallen, gibt es auch ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ dazu.
02.10.2010, 11:20	Ohla	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal Danke für die Antworten das mit dem x heraus bekommen verstehe ich nun. Was ich aber nicht ganz verstehe ist diese Definitionbereich/Definitionsmenge ist beides das gleiche oder? für was ist das gut? Ich weiß dass es irgnwas damit zu tun hat dass man nicht Wurzeln aus Negativen Zahlen ziehen darf und ein Nenner nie durch 0 teilen darf. Diese nennt man Definitionslücken oder? aber was muss ich denn Definieren wenn es keine lücken gibt? das verstehe ich noch nicht so ganz
02.10.2010, 14:31	Ohla	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ok.. könnte mir jmd bitte mal die Lösung hinschreiben? mit dem Lösungsweg der GLeichung und dem Definitionsbereich? Das ist keine Hausaufgabe oder sonstiges die ich andere für mich erledigen lasse, ich habe mir Gedanken zu der Aufgabe gemacht komme jedoch nicht zur Lösung der Aufgabe. Danke für alle Antworten.
03.10.2010, 01:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Leopolds Ansatz funktioniert hier wegen der besonderen Angabe. In anderen Fällen wird dies nicht so sein. Es genügt bereits, dass unter den Wurzeln keine Linearfaktoren stehen. Der klassische Weg geht über das Quadrieren, auch wenn der Nachteil in Kauf genommen werden muss, dass dann - der Vorzeichen wegen - keine Äquivalenzrelation vorliegt. Für den Definitionsbereich muss der Durchschnitt der beiden Intervalle $\begin{eqnarray} [-1; \infty) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [-5; \infty) \end{eqnarray}$ gebildet werden. Stelle beide Megen am Zahlenstrahl dar, dann siehst du bereits, was dabei herauskommt. Siehe auch nochmals dazu den Beitrag von jester.. Dein Beispiel rechnen wir nicht, dass ist dir vorbehalten. Netterweise kriegst du hier ein anderes. Beispiel: x > 3 UND x > 7: Der Durchschnitt ist x > 7, denn wenn dieses gilt, ist auch x > 3 erfüllt. Beispiel: $\begin{eqnarray} \sqrt{2x-5} - \sqrt{x-3} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{2x-5} = 1 + \sqrt{x-3} \end{eqnarray}$ quadrieren $\begin{eqnarray} 2x - 5 = 1 + 2 \sqrt{x-3} + x - 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x - 3 = 2 \sqrt{x - 3} \end{eqnarray}$ quadrieren, jetzt verschwindet auch die rechte Wurzel und es entsteht (im Gegensatz zu deinem Beispiel) eine quadratische Gleichung. Kannst du weiter rechnen? (3 und 7 kommen als Lösung) Die Probe zeigt die Richtigkeit beider Lösungen. Def.Menge: $\begin{eqnarray} x \geq \frac 5 2 \ \text{und} \ x \geq 3 \ \to \ x \geq 3 \end{eqnarray}$ mY+
03.10.2010, 13:11	Ohla	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich kann natürlich weiterrechnen nur sind wir noch einige Dinge in deiner Rechnung unklar. also erstmal zu deiner Rechnung: quadrieren dann siehst so aus $\begin{eqnarray} x²-6x+9=4x-12 \end{eqnarray}$ alles auf eine Seite bringen weils ne quadratische Gleichung ist für die PQ formel $\begin{eqnarray} x²-10x+21=0 \end{eqnarray}$ in die PQ formel einsetzen Lösungen sind x1=3 x2=7 Probe: x1+x2=-p -> 3+7= -10 x1x2=q -> 37=21 beides Richtig. Die Offenen Fragen die ich nun noch habe sind: 1. da wo du die Gleichung quadriert hast, auf der Linken Seite fällt die Wurzel weg das ist klar, aber was passiert da auf der rechten Seite ? woher kommt denn aufeinmal die 2 vor der $\begin{eqnarray} \sqrt{x-3} \end{eqnarray}$ und dahinter die $\begin{eqnarray} +x-3 \end{eqnarray}$ ? Wieso ist in der letzten Reihe nicht mehr die $\begin{eqnarray} 2x \end{eqnarray}$ sondern nur noch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ? 2. Definitionsbereich du meintest etwas von Durchschnitt das ist mir irgndwie auch noch nicht so klar das bei x>3 UND x>7 der Durchschnitt bei x>7? wenn x>3 ist dann ist doch x auch > 7?? Danke für deine Hilfe wenn ich die 2 Fragen geblickt habe ist es mir klar. Sry dafür dass ich etwas länger brauche.
03.10.2010, 16:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Beispiel hast du richtig gelöst. Rechne jetzt analog deine Aufgabe. Diese wird leichter werden, weil infolge des Wegfalles von x die Gleichung linear wird. _______________ Wenn du eine Summe (mit 2 Summanden) quadrierst, sollte dir klar sein, dass damit ein Binom zu quadrieren ist: $\begin{eqnarray} (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \end{eqnarray}$ Jetzt weisst du, woher die 2 und die anderen Sachen herkommen. Ein oftmals begangenener Fehler ist, nur die beiden Summanden zu quadrieren und auf das Mittelglied (2ab) zu vergessen. Und: Das Quadrat einer (Quadrat-)Wurzel ist einfach der Radikand, daher kommt dann natürlich nur noch x - 3. Schließlich, deine Behauptung, wenn x > 3 ist, ist auch x > 7, ist leicht zu widerlegen: Annahme, x = 4, das ist zwar größer als 3 aber wirklich auch größer als 7?? Also ist bei dir 4 größer als 7? mY+
03.10.2010, 18:29	Ohla	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh Vielen Vielen Dank!!! Jetzt gehen mir die Lichter auf!!^^ die Lösung meiner Aufgabe: $\begin{eqnarray} \sqrt{x+5}+\sqrt{x+1}=4 \end{eqnarray}$ Wurzel auf die andere Seite bringen. $\begin{eqnarray} \sqrt{x+1}=4-\sqrt{x+5} \end{eqnarray}$ quadrieren $\begin{eqnarray} x+1=16-8\sqrt{x+5}+x+5 \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} -20=-8\sqrt{x+5} \end{eqnarray}$ quadrieren $\begin{eqnarray} 420=64x+320 \end{eqnarray}$ -320 / 64 $\begin{eqnarray} x=1,25 \end{eqnarray}$ Ich weiß auch nun woran es lag, das beim Quadrieren von 2 Summanden ein Binom entsteht das war das was gefehlt hat. Das habe ich nicht gemacht. Naja und das mit dem Durchschnitt ist natürlich einleuchtend, ich hatte da irgndwie ein Denkfehler. Naja nun bin ich gerüstet.Bleibt nur noch zu Sagen Vielen Dank! Man schreibt sich beim Nächsten Problem :P
03.10.2010, 22:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es brav mY+

Neue Frage »

Antworten »

Lösung einer Wurzelgleichung

Verwandte Themen