Flächenschwerpunkt eines Kreisringsegmentes

02.10.2010, 13:46	Steuerzahler	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenschwerpunkt eines Kreisringsegmentes Meine Frage: Ich Grüße Euch Ihr Mathe Cracks, ich möchte gerne den Abstand vom Koordinatenurspung zum Schwerpunkt des Kreisringsegmentes, die blaue Fläche ind er beigefügten Zeichnung, berrechnen. Meine Ideen: Gegeben ist dabei: ri, ra und alpha/2 Zunächst Berechne ich den Flächeninhalt des Kreisrings mit Hilfe eines Doppelintegrals in Ploarkoordinaten. $\begin{eqnarray} A=\int_\alpha^\alpha\!\int_r^r\!r^3\sin(\alpha)\cos(\alpha)\,dr,<br /> d\alpha \end{eqnarray}$ meine errechnete Formel für den Flächeninhalt lautet danach: $\begin{eqnarray} A=\frac{1}{4}\left(ra^4-ri^4\right)\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha 2)^2-sin(\alpha 1)^2 \right) \end{eqnarray}$ Wenn ich meine Formel allerdings mit den Winkel Alpha2=135° und Alpha1=45° überprüfe, bekomme ich Null raus. Somit komme ich auch nicht mit der Berechnung meines Schwerpunktes weiter. Daher meine Frage hat jemand Rat? Schwerpunkt $\begin{eqnarray} ys=\frac{1}{A}\int_\alpha^\alpha\!\int_r^r\!r^2\sin(\alpha)\,dr, d\alpha \end{eqnarray}$ [attach]16162[/attach] Bitte verwende nach Möglichkeit für eine Graphikdatei das Format PNG oder JPG, dann ist das Bild nämlich sofort als Voransicht zu sehen. Danke, Gualtiero
02.10.2010, 15:58	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt eines Kreisringsegmentes Es gibt überhaupt keinen Grund, die Fläche eines Kreisringsegments per Integral zu berechnen. Die Fläche ist proportional zum Öffnungswinkel und die Fläche des vollen Kreises bzw. Kreisringes ist dir ja sicher bekannt. Wenn du die Fläche aber unbedingt per Integral berechnen willst, dann steht bei dir ein völlig falsches Integral. Für den Schwerpunkt steht das richtige Integral da. Es wäre allerdings nützlich, wenn du auch die Grenzen korrekt hinschreiben würdest.
02.10.2010, 18:08	Steuerzahler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt eines Kreisringsegmentes Hey Hubby, danke für den Denkanstoß. Leider war es mir nicht möglich die Integralgrenzen deinen Wünschen anzupassen, wenn du mir vielleicht in einem Beispiel den Quelcode posten könntest, kann ich die Integrale mit den Grenzen anpassen. Mal davon abgesehen, das man den Flächeninhalt relativ einfach mit mit einem Kreisausschnitt berechnen kann. Würde mich trotzdem interessieren, wie man mit einem Integral die Fläche berechnet. Das Ergebnis müsste ja das Selbe sein Hier nochmal meine Idee dazu: Zu den Polarkoordinaten gelten die Transformationgleichungen: $\begin{eqnarray} x=r\cos(\alpha ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=r\sin(\alpha ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dA=rdrd\alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iint\limits_A \! f(x,y) \, dA \end{eqnarray}$
02.10.2010, 18:47	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt eines Kreisringsegmentes Dein dA ist richtig. Eine Fläche zu bestimmen ist identisch mit, die Funktion $\begin{eqnarray} f(x, y)=1 \end{eqnarray}$ über die Fläche zu integrieren. Und die Funktion bleibt auch 1, wenn man Polarkoordinaten verwendet. Lediglich dA ist anzupasssen. Man hat also, wenn man den Flächeninhalt mit $\begin{eqnarray} \mu (A) \end{eqnarray}$ bezeichnet, um ihn von der Fläche A zu unterscheiden: $\begin{eqnarray} \mu (A)=\iint \limits_A 1 ~dA = \iint \limits_A 1 ~dydx=\iint \limits_A 1 ~rdrd\alpha \end{eqnarray}$ Wenn man in Polarkoordinaten die Grenzen einsetzt, hat man bei deiner Fläche: $\begin{eqnarray} \mu (A)=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \int_{r_i}^{r_a} ~rdrd\alpha \end{eqnarray}$ Das führt zu dem bekannten Ergebnis für ein Kreissegment bzw. Kreisringsegment. Wenn du mit der Maus auf die Formel gehst, siehst du den Latexcode.
02.10.2010, 20:33	Steuerzahler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Huggy, nun habe ich es endlich verstanden. Ich danke Dir Berechnung des Flächeninhaltes für Kreisausschnitte: $\begin{eqnarray} A=\frac{1}{2}({\alpha_2}-{\alpha_1})({r_a}^2-{r_i}^2) \end{eqnarray}$ Berechnung mit einem Doppelintegral in Polarkoordinaten: $\begin{eqnarray} \mu(A)=\iint\limits_A1~dA=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\int_{r_1}^{r_2} rdrd\alpha \end{eqnarray}$ Innere Integration: $\begin{eqnarray} \int_{r_1}^{r_2} rdrd\alpha=\frac{1}{2}(r_2^2-r_1^2) \end{eqnarray}$ Außere Integration: $\begin{eqnarray} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} 1~d\alpha={\alpha_2}-{\alpha_1} \end{eqnarray}$ Ergebnis: $\begin{eqnarray} \mu(A)=\iint\limits_A1~dA=\frac{1}{2}({\alpha_2}-{\alpha_1})(r_2^2-r_1^2) \end{eqnarray*}$

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