Überprüfen der linearität von Funktionen

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marcusf Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfen der linearität von Funktionen
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe bekommen: Welche der folgenden Funktionen sind linear?

Bsp.1 : f(x) = -3x
Bsp. 2.: f(x)= x/7

Wie kann ich nun überprüfen, ob eine Funktion linear ist?
Ich habe gehört, dass wohl die Bedingungen der Homogenität f(a*u) = a*f(u) und Addivität f(u+v) = f(u) + f(v) erfüllt sein müssen, damit eine Funktion linear ist.
Ich kenne auch die beiden Sätze davon, weiß aber mehr nicht damit anzufangen.

Vielleicht kann mir ja jemand heöfen!

lieben dank!

lg
marcus
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest noch erwähnen, von wo nach wo abgebildet wird, das ist wichtig zu wissen.

Ansonsten setz doch einfach mal ein, was ist f(x+y), ist es das selbe wie f(x)+f(y)?
marcusf Auf diesen Beitrag antworten »

hi danke für die schnelle antwort,
ich weiß nicht genau, wie ich das machen soll. Das ist mein Problem. Soll ich mir jetzt einen x wert ausdenken, den dazugehörigen y wert berechnen und dann für f(x+y) das addierte ergebnis eintragen?

Weiß nicht wie ich die anwenden soll die additivitäts und homogenitätssätze. :-(
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Du solltest noch erwähnen, von wo nach wo abgebildet wird, das ist wichtig zu wissen.


Dazu solltest du noch Stellung nehmen, ich nehme jetzt einfach mal an, dass die Funktion von nach abbildet.

Du sollst jetzt einfach für beliebiges den Funktionswert von berechnen: .

Falls die Funktion linear ist, muss sie erfüllen, kannst du diese Gleichheit mit dem Schritt den ich oben schon vorgemacht hab nun nachweisen (oder widerlegen falls sie nicht linear ist)?
marcusf Auf diesen Beitrag antworten »

jap die funktion wird von R nach R abgebildet.

sorry aber ich habe imme rnoch keine ahnung, was ich hier genau machen soll. soll ich jetzt beispielswerte in die formel einsetzen?
ich weiß einfahc nicht, wie ich die beiden bedingungen homogenität und linearität anwenden soll.

mir fällt das schwer, weil mir das mit x und y alles so abstrakt vorkommt und ich es mir nicht vorstellen kann.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, einfach irgendwelche Beispielwerte in die Formel einsetzen ist falsch.

Ich hab dir den ersten Schritt doch schon vorgemacht.

Zitat:
Original von Iorek
Du sollst jetzt einfach für beliebiges den Funktionswert von berechnen: .


Das ist der Funktionswert an der Stelle . Du musst jetzt überprüfen, ob gilt, , was ist dann wohl ? Sind die beiden Ausdrücke also gleich?
 
 
marcusf Auf diesen Beitrag antworten »

irgednwie stehe ich total auf dem schlauch. ich hab keine peilung wie ich nun f(y) berechnen soll. anscheinend ist das ja einfach aber ich kapiers grade nicht :-(
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würdest du berechnen? Was habe ich bei gemacht? Das gleiche Vorgehen passt bei .
marcusf Auf diesen Beitrag antworten »

f(1)= -3*1 = -3
y= -3

Du hast f(x+y) für x eingesetzt.
f(x+y) = -3* (x+y) = -3x - 3y
y= -3x - 3y
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist zwar einiges richtig, aber das bringt uns nicht weiter unglücklich

Du setzt den Ausdruck, der in Klammern steht für jedes x in der Funktionsgleichung ein, so hab ich das bei gemacht, so hast du es bei gemacht...was ist damit also ?

In welchem Rahmen sollst du diese Aufgabe bearbeiten?
marcusf Auf diesen Beitrag antworten »

Ohjeee ich dachte das hätte ich gemacht
die gleichung lautet ja f(x)= -3x
also setze ich (x+y) für jedes x ein ->
f(x+y) = -3* (x+y) oder???

Die Aufgabe ist im Rahmen eines Mathekurses anner uni im fach bwl (Quantitative Methoden heißt der Kurs)...

lg

marcus
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das habe ich aber auch gar nicht gemeint, wir müssen immer noch wissen, was ist, der Rest steht ja schon da.

Die Frage ist schon fast zu trivial: . Jetzt liegt es an dir zu überprüfen, ob gilt.
marcusf Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde sagen es ist das selbe weil:
f(x+y) = -3*(x+y) = -3x-3y

und f(x) = -3x + f(y) = -3y
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf die falschen Gleichheitszeichen in der letzten Zeile stimmt die Aussage, also ist die eine Bedingung für die Linearität erfüllt. Bleibt noch die andere zu prüfen, das Vorgehen ist dabei sehr ähnlich.
marcusf Auf diesen Beitrag antworten »

super :-)
muss ich aber jetzt nicht noch auf homogenität prüfen f(a*u) = a*f(u)?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, wir hatten die nicht direkt mit reingenommen, stimmt. Ja, die muss natürlich auch überprüft werden.
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