Eine Gleichung mit 2 Unbekannten, alle Lösungen |
| 03.10.2010, 04:24 | logo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Eine Gleichung mit 2 Unbekannten, alle Lösungen ist schon etwas länger her, dass ich die Algebra Vorlesung besucht habe, und ich weiss nicht mehr wie das Verfahren heisst, dass man eine Gleichung mit 2 Unbekannten löst und alle Lösungen findet. Ich habe nun folgende Gleichung 6x + 11y = 52 über Z x Z nach etwas probieren bin ich auf die Lösung: x = 5 und y = 2 bekommen ich brauche aber alle Lösungen, dass ich für beliebige x ein dazugehöriges y erhalte. lg logo |
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| 03.10.2010, 09:31 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Eine Gleichung mit 2 Unbekannte, alle Lösungen Weil gilt, ist auch x=5+11u , y=2-6u für jedes ganzzahlige u eine Lösung. (Aber x kann bei der Grundmenge ZxZ nicht beliebig gewählt werden.) |
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| 03.10.2010, 10:35 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast dort eine lineare diophantische Gleichung vorliegen. Das Lösungsverfahren dazu wird hauptsächlich durch den erweiterten euklidischen Algorithmus bestimmt. Nähere Informationen findest du hier: Lieneare Diophantische Gleichungen und hier: Erw. eukl. Algo. |
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| 03.10.2010, 16:43 | logo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lineare Diophantische Gleichung das habe ich gesucht, vielen Dank. lg logo |
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| 03.10.2010, 17:51 | logo | Auf diesen Beitrag antworten » |
@wisli mich würde noch interessieren, wie du auf die homogene Gleichung gekommen bist, etwa durch probieren oder gibt es dafür ein System. in der Wiki steht: Es ist a = 6,b = 10,g = 2, also a' = 3,b' = 5. Die homogene Gleichung 6x + 10y = 0 hat also die Lösungen (x,y) = (5t, -3t) für ganze Zahlen t. wird aber nirgendwo erwähnt wo das a' b' abzulesen sind Soweit ich mich erinnern kann haben wir den ggT tabellarisch gelöst und dort konnte man das ablesen. Bei der Rechnung kommt als ggT heraus: 11:6 = 1, 5 Rest 6:5 = 1, 1 Rest 5:1 = 5, 1 Rest aufgerollt, ergibt: 11 = 1.6 + 5 6 = 1*5 + 1 5 = 1*5 + 0 1 = 6 - 1*5 1 = 6 - (11 - 1*6) Ist bei deinem x=5 + 11u und y= 2 - 6u einfach die eine Lösung also x=5 und y=2 und dann noch die nagation der Gleichung also 11u und -6u, und das Vorzeichung hast du eventuell probiert ??? lg logo |
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| 03.10.2010, 18:43 | logo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ich es tabellarisch löse erhalte ich folgende Lösung: Daraus folgt: ggT(11,6) = 1 und die Gleichung wird auch erfüllt 1 = s*a + t*b 1 = -1*11 + 2*6 kann man vielleicht daraus die homogene Gleichung finden um alle Lösungen zu erhalten, oder fehlt noch was? lg logo |
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| 03.10.2010, 19:40 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du suchst zu weit; es ist banal: Aus 6x + 11y = 52 leitet man die homogene Gleichung 6x + 11y = 0 ab. Letztere ist offensichtlich erfüllt mit x=11 und y=-6 (bitte einsetzen!), und deshalb auch von x=11u und y=-6u für jedes ganze u. |
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| 03.10.2010, 20:07 | logo | Auf diesen Beitrag antworten » |
das funktioniert anscheinend bei dieser Gleichung, aber bei: 14x + 22y = 39 geht das meiner Meinung nach nicht, hier finde ich nicht so leicht eine Lösung: hier funktioniert auch nicht die Gleichung 2 = s*a + t*b 2 = 2*22 + 1*14 ist diese vielleicht nicht lösbar, weil durch probieren bin auch auf keine Lösung gekommen? Ich glaube wir haben da auch den Chinesischen Restsatz angewendet. lg logo |
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| 03.10.2010, 20:29 | logo | Auf diesen Beitrag antworten » |
habs jetzt gelöst, die zweite Gleichung: 14x +22y = 39 L = {}, weil 2 teilt nicht 39. die erste Gleichung ergibt bei mir die Lösung: 1 = -1*11 + 2*6 (x0, y0) = (-52, 104) Alle Lösungen: x = 104 + u*11 y = -52 - u*6 (x0; y0) = ( 104 ; -52 ) u= 0 ( 115 ; -58 ) u= 1 ( 126 ; -64 ) u= 2 ( 137 ; -70 ) u= 3 vielen Dank für eure Hilfe! lg logo |
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| 03.10.2010, 20:42 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
(x0, y0) = (-52, 104) ist falsch. Richtig ist (x0, y0) = (104, -52). Wieso du aber die schon anfangs genannte viel einfachere Lösung (x0, y0) = (5,2) auf soviel Umwegen durch die kompliziertere ersetzest, versteht man nicht. |
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| 03.10.2010, 20:48 | logo | Auf diesen Beitrag antworten » |
5, 2 ist durch probieren entstanden, ich möchte auf eine Lösung durch ein Verfahren kommen, dieses kann ich auf beliebige Beispiele anwenden. lg logo |
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| 03.10.2010, 20:58 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
Durchprobieren von y = 0, 1, 2, ... mit Berechnung von zugehörigem x und stoppen, wenn x ganz, ist auch ein «Verfahren» (Algorithmus), das auf beliebige Beispiele anwendbar ist (allerdings zugegeben nicht sehr effizient). |
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| 03.10.2010, 21:04 | logo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ich bei der Klausur mich mit dem probieren vertuh, dann steht was falsches am Zettel, aber wenn ich durch so ein aufwendigeres Verfahren mich vertuh, dann steht wenigstens mehr am Zettel und ich bekomme eventuell mehr Teilpunkte als mit dem Probieren. Das ist so meine Befürchtung, kann mich ja auch irren. 
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