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09.11.2006, 21:06	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dgl Hallo, ich soll folgende Aufgabe lösen: Der harmonische Oszillator mit Luftreibung (Turbulenzdämpfung) genügt der Bewegungsgleichung $\begin{eqnarray} \frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x+r\frac{dx}{dt}\left\|\frac{dx}{dt}\right\|=0 \end{eqnarray}$ Lösen Sie diese Gleichung für die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} v(x)=\frac{dx}{dt} \end{eqnarray}$ . Schreiben Sie dabei $\begin{eqnarray} \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} \end{eqnarray}$ (In diesem Fall ist dies erlaubt!). Zeichnen Sie die Bahn auf, also auf der x-Achse die Variable x und auf der y-Achse die Variable v(x). Was passiert in den Umkehrpunkten v=0 mit der Lösung? Leider kenne ich aus der Physik diese Gleichung nur ohne \|v\|, dafür kenne ich auch eine Lösung (aber keinen mathematischen Weg dahin ). Aber so hab ich leider überhaupt keinen Ansatz, vor allem, da wir das Kapitel über DGL höherer Ordnung noch nicht angefangen haben... Lässt sich da sonst irgendwas machen? Danke schonmal. mfG 20
09.11.2006, 21:43	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi 20_Cent, wenn du deine Substitution in deine Gleichung einsetzt erhälst du eine neue DGL, die nur von v und x abhängig ist.(die Sub. ergibt sich übrigens aus der Kettenregel und man nutzt hier die Tatsache, dass 't' nicht explizit auftaucht in der DGL). $\begin{eqnarray} \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}v \end{eqnarray}$ wenn man das einsetzt ergibt sich: $\begin{eqnarray} \frac{dv}{dx}v+w^2x+rv\mid v \mid =0 \end{eqnarray}$ also das mit dem Betrag kann ich jetzt nicht genau weiterrechnen, aber wenn man dafür v^2 benutzen könnte würde sich ja die DGL: $\begin{eqnarray} \frac{dv}{dx}v+w^2x+rv^2 =0 \end{eqnarray}$ ergeben. wenn du hier jetzt die zweite Substitution $\begin{eqnarray} z=v^2 \end{eqnarray}$ benutzt dann hast du eine inhomogene DGL erster Ordnung, die man ziemlich einfach mittel Integration lösen kann. Vielleicht kann man ja die DGL für zwei Fälle lösen, einmal für v>0 und v<0. Bei v>0 würde ich das mit v^2 einfach rechnen, für v<0 würde ich das "alte" v mit -v ersetzen und dann nochmal lösen. Vielleicht kann man ja auch anstatt v einfach annehmen, dass der Wert v zu v->p*v wird wobei p entweder plus oder minus ist, dann muss man nur eine DGL lösen und kann sich dann nochmal gedanken machen. Gruß Jan
09.11.2006, 21:45	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
cool, danke für die antwort! mfg 20
09.11.2006, 21:58	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi 20_Cent, nur nochmal aus Interesse, wie sieht bei dem Problem die Randwertbedingung aus ich mein sowas wie: v(0)=0 oder v(0)=vo ? Gruß Jan
10.11.2006, 16:31	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
war nichts gegeben... man hat also am ende x0, v0, omega und r als konstanten drin... mfG 20 PS: Ich habs übrigens hinbekommen, allerdings hab ich nicht alle fälle betrachtet und außerdem bei den lösungsintervallen geschlampt... Ich habe Bernoulli-DGL benutzt.

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