Partielle Ableitung

03.10.2010, 10:29	hans201	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Ableitung Hi zusammen, es geht um folgende Funktion die mir Kopfzerbrechen bereitet: $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^{a} y^{1-a} \end{eqnarray}$ Hier soll ich nun die Hesse-Matrix zu bilden. Meine Idee für die 2te Ableitung nach x (also dell x²) ist folgende: $\begin{eqnarray} f(xy)/d x²= 2ax^{a-2} y^{1-a} \end{eqnarray}$ Ich glaube aber das ist nicht richtig. Meine Befürchtung ist, das ich den Exponenten Falsch abgeleitet habe und das selbige bei der Ableitung für dy². Da habe ich folgendes raus: $\begin{eqnarray} f(x,y)/dy²= -2ax^{a}y^{-a-1} \end{eqnarray*}$ Mein Ansatz war es y bzw x jeweils als Skalar zu behandeln und dann mit der Faktorregel zu arbeiten. Aber wie gesagt, ich werde das Gefühl nicht los irgend etwas falsch gemacht zu haben. Für eure Hilfe bereits besten Dank im voraus :-) Lg Hans
03.10.2010, 10:54	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal, deine Verwirrung kommt vielleicht durch die unterschiedlichen Ableitungen von $\begin{eqnarray} x^a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a^x \end{eqnarray}$ zustande (wobei a jeweils Konstante, x Parameter), oder? Dazu am besten die Definition verwenden: $\begin{eqnarray} a^x = \exp (x \cdot \ln a)<br /> x^a = \exp(a \cdot \ln x) \end{eqnarray}$ Deine Ableitungen sind soweit ich das sehe noch nicht ganz korrekt. Wie bist du auf den Faktor 2a gekommen? Außerdem solltest du auch immer beachten, dass partielle Ableitungen mit $\begin{eqnarray} \partial x \end{eqnarray}$ gekennzeichnet werden und nicht dx, sonst ist es unter Umständen ganz falsch, was dort steht.
03.10.2010, 11:08	hans201	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi saz, danke erstmal für die schnelle antwort :-) zur konvention: ich habe d genommen weil ich das dell-symbol nicht auf anhieb gefunden habe und dachte mir des passt schon ;-) war einfach faul^^ die parameter sind jeweils x und y. konstante ist a. wie ich auf die 2a gekommen bin. da hab ich mich vertippt bzw war wohl irgendwie nicht ganz anwesend. wollte eigentlich folgendes schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{dell f(x,y)}{dell x²}= a(a-1)x^{a-2}y^{1-a} \end{eqnarray*}$ lg
03.10.2010, 11:12	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, prinzipiell ist es dann so korrekt. Denke mal die Ableitung nach y hast du dann auch richtig. Zu dem Formalen: Der Befehl lautet \partial. Und dann müsstest du oben auch noch eine 2 einfügen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} = a \cdot (a-1) \cdot x^{a-2} \cdot y^{1-a} \end{eqnarray}$
03.10.2010, 11:15	hans201	Auf diesen Beitrag antworten »
super, hab vielen dank saz :-) ich wünsch dir noch einen schönen sonntag lg hans

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