Überprüfen, ob Summe in ein Produkt umzuwandeln ist...

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felted Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfen, ob Summe in ein Produkt umzuwandeln ist...
Hallo zusammen,

seit einer Stunde gugg ich mir diese Aufgabe an und werde aus den Informationen nicht schlau.

Überprüfen Sie, ob die gegebene Summe in ein Produkt zu verwandeln ist:



Meine Unterlagen behaupten:
1. Wenn diese Summe als Produkt zweier Summenterme intstanden ist, müssen die ersten Summanden beider Klammern gleich sein.


Ok, wer sagt das? Eine Seite weiter vorher steht geschrieben:
2ax + 8ay - by - 4by = (x + 4y)(2a-b)
Hier sind die ersten beiden Summanden nicht gleich... verwirrt

Die Variable des jeweils zeiten Summanden ist ebenfalls festgelegt.


Hmmm...

Nach der Regel über das Multiplizieren von Summentermen muss gelten:


Also ich lese das so:


Kann mir das bitte jemand verständlicher erklären...?

Viele Grüße und Danke, Felted
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfen, ob Summe in ein Produkt umzuwandeln ist...
Tipp: Linearfaktoren, Satz von Vieta.
felted Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir den Satz des Vieta zu gemüte geführt und teilweise verstanden.
Quelle: http://home.fonline.de/fo0126/algebra/alg29.htm

Nun ist es doch so, das immer von einer Gleichung gleich 0 ausgegangen wird.

In meiner Aufgabe habe ich aber einen Term und keine Gleichung. Und ich kann doch nicht einfach eine 0 als Ergebnis definieren, da ich ja im Vorfeld nicht wissen kann, was das Ergebniss ist.

Viele Grüße, Felted
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zum faktorisieren darfst du



bemühen.
felted Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich es richtig, das es sich hierbei um eine quadratische Gleichung in der Normalform handelt, so wie hier beschrieben?

http://www.mathematik.net/quadratische-g...ngen/q06s50.htm

Ich komm da nicht weiter...

Viele Grüße, felted
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Aber ich gab schon den Tipp mit dem Satz von Vieta. Was besagt der denn?
 
 
felted Auf diesen Beitrag antworten »

Er besagt, der Term wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Man kann angeblich auch schreiben:



Trotzdem komme ich leider nicht weiter...

Grüße, Felted
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das entscheidende ist doch, wie Vieta auf a und b kommt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfen, ob Summe in ein Produkt umzuwandeln ist...
Sorry, daß ich mich einmische.
Zitat:
Original von felted


Im Prinzip ist das doch der richtige Ansatz, wenn da statt den Pünktchen Pluszeichen stünden und die Klammern richtig ausmultipliziert wären.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfen, ob Summe in ein Produkt umzuwandeln ist...
Kein Problem. Ich dachte nicht, dass der Tipp mit Vieta so schwer umzusetzen ist. Sondern dass man dann gleich in der Formel die ... und Koeffizienten findet. Oder eben eine Begründung, warum nicht. Da habe ich mich hier geirrt. Augenzwinkern
felted Auf diesen Beitrag antworten »

Also ursprüngliche Aufgabe war:
p² + 6pr + 8r² -> Faktorisieren

1. Schritt:
Das Absolutglied in zwei Faktoren zerlegen, das deren Summe den entgegengesetzen Wert des Koeffizienten -6 des Lineargliedes ergibt.
x1 * x2 = -2 * -4 = 8 und x1 + x2 = -2 - 4 = -6

2. Schritt:
Wurzelsatz von Vieta:
p = -(x1 + x2) = -6 und q = x1 * x2 = 8

3. Schritt:
p² + (-6) * pr + 8? = 0
Ab hier komme ich nicht weiter...

Ist das vom Prinzip her soweit richtig?
Wahrscheinlich muss ich im Vorfeld das Quadrat von der acht beseitigen...?

Grüße, Felted
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit Vieta wollte ich dich darauf aufmersam machen, was hier zu vergleichen ist. Vielleicht ist das wegen den vielen Buchstaben zu umständlich gewesen. Gehen wir deinen Weg, nun aber richtig.





Damit folgt





Da sieht man doch schnell eine ganzzahlige Lösung. Augenzwinkern
felted Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

mit dem Satz von Vieta habe ich mich inzwischen angefreundet/abgefunden. Sprich, die Lösung sieht damit doch so aus...?

Faktorisieren Sie diesen Term:


- Was ergibt addiert 6 und multipliziert 8?
- 2+4=6 und 2*4=8

Dann kommt immer:


Und dann einfach stur einsetzen:


Damit kommt man anscheinend immer zum richtigen Ergebnis. Schwierig wird es halt, wenn die Koeffizienten kompliziert werden. Was dort aber im Hintergrund passiert ist mir nicht klar. Muss man das Wissen? Wohin verschwindet eigentlich das Quadrat von 8r²?

Nun noch eine andere Vorgehensweise.

Vieta definiert ja auch:




Hier komme ich dann aber gleich nicht mehr weiter...



Hier setze ich für die Zahl 6 das p ein


Hier multipliziere ich die Klammer aus...


Und jetzt komme ich nicht mehr weiter.
Wie bekomme ich denn nun die Quadrate weg...?

Wann wendet man eigentlich welche Methode (Vieta, pq-Formel, abc-Formel) an, um Quadratische Gleichungen zu lösen?

Viele Grüße, Felted...
...der noch viel lernen muss.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Also mit Vieta wollte ich dich darauf aufmersam machen, was hier zu vergleichen ist. Vielleicht ist das wegen den vielen Buchstaben zu umständlich gewesen. Gehen wir deinen Weg, nun aber richtig.





Damit folgt





Da sieht man doch schnell eine ganzzahlige Lösung. Augenzwinkern


Die Lösung ist (Symmetrie beachten) a1=2, a2=4. Damit haben wir


Wir haben hier die r schon ausgeklammert. Bei Vieta wären sie formal erstmal noch drin.





Dort sehen wir aber auch gleich die Lösung x1=2r, x2=4r.

Zitat:
Wann wendet man eigentlich welche Methode (Vieta, pq-Formel, abc-Formel) an, um Quadratische Gleichungen zu lösen?


ac geht immer, Vieta wenn man es schon "sieht", pq für normierte Gleichung.
felted Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

ich habe ja schon viel Hilfe bekommen -> Danke!

Kann mir dennoch bitte jemand genau aufschreiben, wie ich ohne Vieta Schritt für Schritt

von



nach



komme? Also so richtig aufgelöst, damit ich jeden Schritt nachvollziehen kann.

Viele Grüße und Danke, Felted
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt es ganz so machen, wie du es zu Anfang dargestellt hast. Nur eben richtig rechnen. Beachte den Hinweis von klarsoweit.
felted Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also aus



wird



und dann...?

Grüße, Felted
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von felted
Ok, also aus



Warum stehen da nun 2 "+"

felted Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sorry,



ist



und jetzt...

Grüße, Felted
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

tigerbine hat es bereits in einem ihrer Beiträge hier gesagt.

Berechne und im Kopf oder löse das LGS.
felted Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,



und



Ich muss also schreiben:



Alles schön und gut, aber ich möchte wissen, wie von der ursprünglichen Aufgabe:


nach da komme:



Und zwar ohne Vieta oder irgendwelche Formeln,die ich auswendig kennen muss.

Ich möchte den Lösungsweg dorthin nachvollziehen können.

Wie z. B. beim Ausklammern.


1. Welcher Faktor ist in beiden Termen vorhanden? Es ist der Faktor x. Dies ist der ausgeklammerte Faktor. Die Summanden in der Klammer bekommt man, indem man durch den gemeinsamen Faktor dividiert.
2. Der erste Summand ist

3. Der zweite Summand ist:

4. Einsetzen der Werte [(Ausgeklammerter Faktor(1. Summand+2.Summand)]:


Viele Grüße und Danke, Felted
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfen, ob Summe in ein Produkt umzuwandeln ist...
Du hattest doch schon eine guten Ansatz gewählt:
Zitat:
Original von felted
Nach der Regel über das Multiplizieren von Summentermen muss gelten:



Statt der Pünktchen mußtest du nur Pluszeichen schreiben und da das anscheinend so schwer ist (ich hatte weiter oben schon darauf hingewiesen) mache ich das auch noch:



Und jetzt multiplizierst du die linke Seite aus.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und zwar ohne Vieta oder irgendwelche Formeln,die ich auswendig kennen muss.

Mathematik ist bestimmt mehr als das Auswendiglernen von Formeln. Aber man soll schon bedenken, dass Formeln auf einfache Weise Zusammenhänge ausdrücken, deren Kenntnis wichtig zur Lösung von Aufgaben ist.
Ich kann Dir nur raten, noch ein paar Beispiele zu rechnen, bis sich die Formel "einschleift". Sie hat bestimmt Platz in Deinem Kopf und in Zukunft weißt Du Dir bei solchen Aufgaben zu helfen.

Edit: Oh sorry, . . . nicht geschaut.
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