Mengen abbilden

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Smasher Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen abbilden
Seien Mengen, dann ist durch die folgende Vorschrift eine Abbildung von nach definiert:






(a) Bestimmen sie für die Zahl



(b) Zeigen sie, dass genau dann injektiv ist, wenn oder



Das ist die Aufgabe unseres LA Übungsblattes und ich habe ein paar Fragen dazu.



zu
(a) ist es richtig dass für auch ist,
weil es dann in nur eine Abbildung von nach gibt und dann diese Abbildung auch nur auf das eine Element von abbildet.


und das für (leere Menge) =>
weil es höchstens für eine gäbe aber keine . Da man von einer nicht leeren Menge nicht in die leere Menge abbilden kann?



zu (b) Hier bin ich etwas ratlos da ich nicht weiss wie ich das Zeigen soll bzw keine richtige idee für einen Ansatz habe.
Ich hab mir folgende Gedanken gemacht:


1. Was gilt für den Fall | und damit ist die Bedingung erfüllt aber nicht injektiv da es keine Abbildung gibt?


2. Im fall das gibt es doch auch keine injektive Abbildung, also muss sein damit injektiv sein kann und in diesem fall gäbe es in mindestens eine von allen Abbildungen für die injektiv wäre. Jedoch ist es eben nur in dem speziellen Fall.



Alles in allem habe ich zur (b) wenig ideen ich höre gerade Lineare Algebra1 und das ist eine Aufgabe meines Übungsblattes. Wir sind in der Vorlesung gerade bei Äquivalenzklassen und bis dahin dürfen wir alles benutzen um das zu Beweisen. Jedoch tue ich mir mit Mengen/Abbildungsbeweisen noch sehr schwer da ich nie weiss wie ichs angehen soll oder was "ausreichend" ist um es anzunehmen oder was man alles beweisen muss. Und noch eine Frage, was bedeutet was genau bedeutet dieses P(m)(f), das habe ich glaube ich beim Thema Komposition nicht richtig verstanden, falls das zusammengehört.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

abb(M,N) beschreibt also die Abbildungen von M nach N?

Also erstmal es ist, also kann die Menge leer sein oder genau ein Element. Wieviel Abbildungen es von M nach N gibt hängt ganz entscheident von der Menge M ab, lässt Du allerdings nur totale Funktionen zu ist für jede Menge M nur eine Abbildung möglich solange N kleiner 1 ist. In diesem Fall ist richtig



Zitat:
Da man von einer nicht leeren Menge nicht in die leere Menge abbilden kann?


Eine Abbildung ist auch nur eine Teilmenge einer Relation, und die ist für die leere Menge genau so definiert wie sonst aus



bleibt also nur die leere Abbildung. Für den Fall einer nicht leeren Menge M ist



und wieder die leere Abbildung.

Bei zweitens musst Du zwei Richtungen zeigen:

Zunächst sei P injektiv was heißt das genau? Schreib es mal auf.
Und für die Umkehrung nimmst Du einmal an das |M| <= 1, dann folgt die injektivität sofort und für |N| >= 2 musste dann bissel arbeiten. Denk immer dran P soll injektiv sein!
Smasher Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort.

Oh habe mir das mit der leeren Menge nochmal angeschaut, das is ja raffiniert, okay also ist die Mächtigkeit immer 1.


Zu zweitens:


Eine Abbildung ist injektiv wenn aus folgt das


(b) Zeigen sie, dass genau dann injektiv ist, wenn oder

Sei P injektiv
""
Dann ist für |M|<=1injektiv weil es for sowohl |M| =1 als auch keine zwei Elemente M gibt die auf das selbe Element abgebildet werden könnten und das für alle Abbildungen.

und für |N|>=2



Eine vermutung ist erstmal da immer mächtiger ist als als M das ganze würde ich von hinten durch die Brust ins auge machen, wir haben im Tutorium gezeigt das es eine Bijektive Abbildung zwischen P(M) und {0,1} gibt diesen Beweis würde ich nehmen und da N>=2 ist wäre Abb(M,N) also gleichmächtig mit P(M) oder mächtiger für N>2, daraus folgt dann auch das die Menge aller Abbildungen von M nach N nach N nochmal mächtiger ist. Und da wir in der Vorlesung gezeigt haben das |M|<|P(M)| folgt daraus
daraus wiederum folgt das es immer eine injektive Abbildung gibt, weil viel mehr Bildelemente da sind als Urbilder. Ich weiss nur nicht ob ich folgern darf das Abb(Abb(M,N),N) größer ist oder ob ich das Beweisen müsste, dann kann ich das natürlich vergessen.





Andererseits merke ich gerade das es vllt viel einfacher wäre wenn ich verstehen würde als was P definiert ist, ich verstehe die Definition nämlich nicht ganz:



ist
oder was bedeutet das? sonst wäre ja nur zu zeigen, dass wenn dann ist nämlich f(m) injektiv und das wäre einfacher als das mit dem AbbAbb... zeug, weil

und aus dieser Menge aller Abbildungen von M nach N gibt es immer eine Abbildung die zwei Elemente m1 und m2 injektiv Abbildet für N>=2.

Nämlich sei N={0,1}



das ist die Abbildung die z.b. m1 auf 1 abbildet und jedes andere auf 0. jetzt kann man jedes m1,m2 auf eine Abbildung (i muss dann 1 oder 2 sein) Abbilden und hat eine Injektive Funktion.
d.h. ich müsste nur noch eine Abbildung definieren die die Abbildet, wobei i und j verschieden oder gleich, wichtig ist nur, das z.b. m1 und m2 nicht auf f4 landen sonst wäre es nicht injektiv.

Kann ich das so machen oder verstehe ich da was falsch?
Danke für die mühe das zu lesen und eventuell zu verstehen und natürlich vielen dank für die Hilfe. Wink
Grüße
Henning
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