Homöomorphie

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Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphie
Hallo miteinander!

Ich hätte eine Frage hierzu:
Sei G:= SO(2) = und die Gruppenaktion . Zu zeigen ist, dass homöomorph ist zu [0,oo).

Ich bin nicht sicher, ob ich das zu Zeigende "richtig verstanden" habe.
Man muss doch zeigen, dass:


homöomorph ist zu [0,oo).

Das heisst, dass zu zeigen ist, dass f bijektiv und stetig ist und zudem die Umkehrfunktion stetig ist.

Ist das korrekt?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Das heisst, dass zu zeigen ist, dass f bijektiv und stetig ist und zudem die Umkehrfunktion stetig ist.


Also erstens mal ist deine Abbildung gar nicht definiert. Und auch wenn ich versuche, da etwaige Schreibfehler zu verbessern, kommt nichts richtiges raus.

Du musst zeigen, dass die Menge versehen mit der Quotiententopologie homöomorph zu ist.

Anschaulich ist die Menge aller Kreise in .
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Achsoo. Okey, aber: Wenn ich keine Abbildung habe, wie kann ich denn Homöomorphie zeigen? (hierzu müsste eine Abbildung - wenn es dann eine gäbe - stetig, bijektiv und die Umkehrabbildung nochmals stetig sein..)

Lieber Gruss und danke für die Hilfe!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, um Homöomorphie zu zeigen, musst du dann schon eine Abbildung definieren und zeigen, dass diese Abbildung ein Homömorphismus ist. Genauer musst du eine Abbildung



finden, welche bijektiv, stetig und offen ist (oder äquivalent zu offen: eine stetige Umkehrabbildung besitzt).
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey.
Anschaulich gesprochen ist das Problem relativ klar, denn man muss eine Abbildung finden, welche die Menge aller Kreise auf [0, oo) abbildet - und dass diese Abbildung bijektiv und offen sein muss, kann man auch noch nachvollziehen.

Kommen wir aber zum Formalen:

wäre sicherlich bijektiv und offen.
Würde diese Abbildung funktionieren?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Thomas00

Vielleicht noch ein Beitrag, damit du dir das "besser vorstellen" kannst.

Die durch die Matrizen



beschriebenen linearen Abbildungen sind Drehungen um den Koordinatenursprung. heißt nun, daß Punkte des identifiziert werden (wie eines angesehen werden), wenn sie durch eine Drehung um den Ursprung auseinander hervorgehen. Das sind aber genau die Punkte, die auf einem Kreis um den Ursprung liegen. Wie gonnabphd bereits erklärt hat, sind die einzelnen konzentrischen Kreise jetzt die Objekte des Denkens.

So sind etwa die Punkte , die im verschieden sind, als Objekte von nicht mehr unterscheidbar. In strenger Sprechweise drückt man das so aus: Sie repräsentieren dieselbe Äquivalenzklasse. Und das ist hier der Einheitskreis. Ebenso sind die Punkte und als Objekte von nicht mehr unterscheidbar, da sie beide auf dem Kreis vom Radius liegen. Dagegen erzeugen und verschiedene Äquivalenzklassen (verschiedene Kreise).

Welche Größe charakterisiert nun die Kreise? Also wie kann man sofort feststellen, ob zwei Punkte demselben Kreis angehören? Welche Zahlenmenge durchläuft diese charakteristische Größe?

Und jetzt weise jedem Kreis diese Größe zu. Dann hast du deinen Homöomorphismus. Überlege auch, warum Kreise genau dann "nahe beieinander liegen" (was heißt das?), wenn diese zugeordneten charakteristischen Größen "nahe beieinander liegen".
 
 
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass ich der Antwort langsam näher komme.

Also, geometrisch gesprochen kann man von der Strecke des einen Punktes mit dem anderen die Mittelsenkrechte ziehen, und sehen, ob diese durch den Punkt (0,0) geht. Falls ja, so gehören die Punkte demselben Kreis an, falls nicht, gehören die Punkte unterschiedlichen Kreisen an.

Aber wie man das formal macht bzw. welche Zahlenmenge durchlaufen wird, das habe ich bis jetzt noch nicht herausgefunden.
Ich werde nun aber weiter "pröbeln" und mich später nochmals melden.
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich bin zu folgendem Schluss gekommen:
Es liegen zwei Punkte auf demselben Kreis, wenn sie auf derselben Bahn liegen bzw. wenn es eine Drehung gibt, so dass der eine Punkt auf den anderen gedreht wird.
Der Kreis hat dann den Ursprung als Mittelpunkt.

Damit ich diese Aussage nun brauchen könnte, müsste ich sie (sofern es überhaupt das ist, an was du gedacht hast) noch formal umschreiben. Allerdings ist das leichter gesagt, als getan.. :S
(also ich müsste ja jedem Kreis diese Grösse zuordnen, aber wie schreibt man das formal?)
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es liegen zwei Punkte auf demselben Kreis, wenn sie auf derselben Bahn liegen bzw. wenn es eine Drehung gibt, so dass der eine Punkt auf den anderen gedreht wird.
Der Kreis hat dann den Ursprung als Mittelpunkt.


Ja. Und ist nun genau die Menge aller Bahnen.

Versuch mal als Abbildung den Radius des Kreises, den die Äquivalenzklasse beschreibt.

Zeige, dass diese Abbildung bijektiv ist, und dass sie stetig und offen ist.
Überleg' dir auch insbesondere, wie offene Mengen in aussehen.


Ich habe noch eine Frage an dich: Kennst du Quotientenräume überhaupt? Wenn nicht, wie habt ihr die Topologie auf einem Bahnenraum definiert?

Wenn du die Quotiententopologie kennst, dann noch folgende Bemerkung: Die vorgeschlagene Abbildung ist genau diejenige, welche durch die euklidische Normfunktion auf induziert wird. Und die Norm ist eine offene Abbildung, damit ergibt sich eigentlich schon alles...
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh..es leuchtet ein Lichtlein in meinem Köpflein smile

Hmm..hätt' ich das von Anfang gewusst... Augenzwinkern

Also wäre das die Abbildung, oder? :
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Vielleicht solltest du nochmal ein wenig die Grundlagen nachholen, bevor du dich mit Topologie und Gruppenaktionen befasst...


Zitat:
Also wäre das die Abbildung, oder? :


Das macht einfach null Sinn. Tut mir Leid.

Zu einer Abbildung gehören - neben der Abbildungsvorschrift - die Wertemenge und die Bildmenge. Im übrigen verstehe ich nicht, wie du Äuivlanzklassen durch 2 teilen willst...

Da ich selbst auch noch ein wenig arbeiten sollte, überlasse ich mal das Feld Leopold (oder natürlich jedem, der Lust hat zu helfen...)
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich noch gewundert, dass es so "einfach" ist. Wie ich darauf kam: Ich habe nicht recht verstanden, wie du " Radius des Kreises, den die Äquivalenzklasse beschreibt" meintest. Daher habe ich den stinknormalen Radius eines Kreises genommen (also Durchmesser / 2).

Nun bin ich aber nochmals über die Bücher und hätte einen etwas "erwachseneren" Vorschlag:



Liebe Grüsse und gute Nacht!
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dein Bildberreich ist doch keine positive reelle Zahl. Dazu müsstest du mindestens sagen was t sein soll...

Du hast Kreise welche alle den Mittelpunkt im Ursprung haben. Welche Größe kennst du dann aus der Schule, welche diese dann eindeutig charakterisiert.
(insbesondere ist diese unabhängig von den Repräsentanten, wieso?, steht bereits in anderen Posts Augenzwinkern )

Betrachte gleichzeitig nochmal die Norm:


Wie hängt alles zusammen?

mfg.
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deiner ersten Frage:
"Welche Größe kennst du dann aus der Schule, welche diese dann eindeutig charakterisiert."
Das ist der Radius.

Eben - dieser Zusammenhang habe ich noch nicht "entdeckt" bzw. verstanden..
Ich meine: Hätte ich den Radius als Abbildung, wäre die Aufgabe gelöst, weil diese Abbildung alle Kriterien erfüllt. Soweit habe ich alles verstanden und nachvollziehen können.
Nur: Wie kann ich nun eine solche Abbildung generieren? ..hier liegt mein Problem - und ich denke eben, dass es daran liegt, dass ich die von dir angesprochenen Zusammenhänge noch nicht richtig gesehen habe..
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hoffe ich, dass dir diese Hinweis beim Verstehen hilft smile

Du hast Äquivalenzklassen, diese werden repräsentiert von Punkten.
Einem solchen Repräsentanten könntest du den Radius zuordnen. Als nächstes muss man sich von der wohldefiniertheit überzeugen, dh. dass diese Abbildung für andere Repräsentanten der Aquivalenzklasse dasselbe Bild liefert (selben Radius)

Zum Schluss musst die die stetigkeit usw. nachweisen, aber alles nacheinander.

ICh hoffe das sind schonmal ein paar hilfreiche Anreize.
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, man könnte folgendes machen..jedoch hat es einen "Haken", denn man müsste dafür den Winkel kennen...

Trotzdem, hier meine Idee:



Aber irgendwie sollten die Äquivalenzklassen auch noch miteinbezogen werden..
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

das ist leider auch falsch.
Was ist der Winkel phi? Abgesehen davon ist das Bild der Abbildung ein Vektor. Du wolltest doch eine reelle Zahl haben...

Also dein Definitionsberreich ist

Demnach suchst du eine Abbildung:


Dabei ist [(x,y)] die Aquivalenzklasse, sprich also dieser kozentrische Kreis und (x,y) ein beliebiger Punkt auf dem Kreis. Mit diesem Punkt könnte deine Abbildung was "anstellen".
Ich hoffe das hilft dir weiter

mfg

PS: bin später weg, will dann jemand übernehmen
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn mein jetziger Vorschlag stimmen würde - so bin ich also erstaunt, was einmal drüber schlafen bringen kann..
(und eine neue, korrekte Skizze..)


sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau darauf sollte es abzielen :=)

Als nächstes solltest du dich vergewissern, dass die Abbildung wohldefiniert im oben erwähnten Sinne ist.
Und anschliessend die nötigen Eigenschaften nachweisen

mfg
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Vorab kurz: Entschuldige bitte, dass ich nicht eher eine neue Skizze gemacht habe und früher zur Lösung gekommen bin..

Also. Zur Wohldefiniertheit:
Zu zeigen ist, dass falls [a] = [b] --> [f(a)] = [f(b)].
Beweis. Angenommen, es gäbe [a] = [b] und es würde nicht folgen, dass [f(a)] = [f(b)].
Sei also [a] = [0,1] und [b] = [1,0] . Dann gilt [a] = [b] und auch [f(a)] = [f(b)], da [f(a)] = 1 = [f(b)].
Daraus folgt die Wohldefiniertheit.

Dann. f ist stetig, da zu jedem Epsilon > 0 ein Delta > 0 existiert, so dass für alle x aus R^2/G mit |x - x_0| < Delta gilt: |f(x) - f(x_0)| < Epsilon.

Die Abbildung ist bijektiv, also existiert eine Umkehrabbildung.
Diese ist widerum stetig.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Gegenannahme weisst du nur von der Existenz eines Paaren wo es nicht funktionieren soll. Du kannst dieses Paar ja dann nicht einfach anderweitig festlegen.

Zur stetigkeit hast du ja schonmal die Definition hingeschrieben. Leider ist dein Definitionsbereich ein Quotient. Dort hast du erstmal keine Metrik oder ähnliches.
Benutze die Quotiententopologie oder eine andere welche ihr in der Vorlesung für solche Quotienten definiert habt.

f ist stetig <=> Urbilder offener Mengen sind offen (könnte nützlich sein)
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sergej88
Bei der Gegenannahme weisst du nur von der Existenz eines Paaren wo es nicht funktionieren soll. Du kannst dieses Paar ja dann nicht einfach anderweitig festlegen.


Hier verstehe ich nicht genau, was du meinst. Also reicht es einfach, dass [0,1] = [1,0] --> [f(0,1)] = [f(1,0)]

Zur Stetigkeit: Würdest du hier auch eine offene Teilmenge von R^2/G nehmen und zeigen, dass das Urbild von A auch offen ist?

Dankeschön für all die Hilfe! smile
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Du nimmst 2 beliebige [a] = [b] und muss für diese beliebigen nachweisen, dass f([a]) = f([b]) gilt.

Wenn du Gegenannahme machst:
Angenommen es gibt irgendwelche [a] = [b] wo dieses nicht erfüllt ist,...

Hier darfst du nicht einfach aus irgendwelchen, von welchen man nichts genaueres weiss, abweichen. (Bei der GEgenannahme weisst du nur über die Existenz etwas)
Überleg dir die Vorraussetzung und was zu zeigen ist ganz in Ruhe. Mache dir von bei beidem klar was dieses bedeutet. Das sollte helfen.

Zur stetigkeit:
Du nimmst eine offene Teilmenge in [0,\infty) und betrachtest das Urbild unter f. Dieses ist eine Teilmenge von R^2/G.

mfg
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe!
Es hat alles wunderbar geklappt! =)
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Würde mich jetzt interessieren wie du die Lösung ausformuliert hast.

Habe es selbst nicht zu ende aufgeschrieben, man kann durchaus je nach Definition mehr oder weniger beweisen...

mfg
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