kürzungsgleiche Terme und Definitionsmenge

03.10.2010, 16:13

Gast24032013

kürzungsgleiche Terme und Definitionsmenge

Mein Problem ist die Definitionsmenge, vor allem im Zusammenhang mit kürzungsgleichen Termen.

Es gilt doch in jedem Fall das Kürzen bzw. Erweitern den Wert eines Bruch(terms) nicht verändert, oder nicht?
Wie kann es dann sein das ich unterschiedliche Ergebnisse bekomme, je nachdem ob und wann ich bei der Berechnung eines Bruchterms gekürzt habe?

Zum Beispiel bei dieser Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{(8+5)*(3-3)}{3-3} \end{eqnarray*}$
Nur wenn ich direkt kürze hätte ich ein Ergebnis, ansonsten wäre der Term nicht definiert.

In diesem Fall:
$\begin{eqnarray*} \frac{(8+x)*(3-x)}{3-x} \end{eqnarray*}$
Würde sich - je nachdem wann und ob ich kürze - auch die Definitionsmenge verändern.

Hier sind
a)
$\begin{eqnarray*} \frac{(8+x)*3}{3} \end{eqnarray*}$
und
b)
$\begin{eqnarray*} \frac{(8+x)*(3-x)}{3-x} \end{eqnarray*}$
zwar kürzungsgleich haben aber eine unterschiedliche Definitionsmenge. Das allerdings auch nur wenn ich die Definitionsmenge zuerst aufstelle. Würde ich zu erst kürzen, dann wäre sie wieder gleich.

Ich frage ich mich daher ob es fest vorgeschrieben ist wann man eine Defintionsmenge aufstellt und wann man kürzen darf. Das existieren verschiedener Ergebnisse/Definitonsmengen für dieselben Brüche verwirrt mich und ich weiß nicht wie ich diesen Umstand beim berechnen deutlich komplexerer Terme berücksichtigen soll.

03.10.2010, 16:44

Equester

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Erklär mir doch mal was du unter Definitionsmenge verstehst?
Warum wird das überhaupt gemacht?

03.10.2010, 17:00

Gast24032013

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Naja, ich würde sagen die Definitionsmenge gibt an für welche Werte (aus der Grundmenge) der Term definiert ist. Und die Lösungsmenge kann nur Werte beinhalten, die nicht in der Definitionsmenge vorkommen.

03.10.2010, 18:29

Equester

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Zitat:

Und die Lösungsmenge kann nur Werte beinhalten, die nicht in der Definitionsmenge vorkommen.

? Hast du dich da verschrieben?

Hmm, ja der erste Teil stimmt...wie lässt sich das auf deine Frage anwenden? Augenzwinkern

03.10.2010, 18:49

Gast24032013

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Oh, stimmt. Das was die Definitonsmenge ausschließt kann nicht Teil der Lösungsmenge sein. So müsste es lauten.

Ich weiß nicht wie sich das anwenden lässt, das ist ja genau meine Frage. Hammer

Ich kann mir nicht vorstellen das ich nach jedem Kürzen die Definitionsmenge "aktualisieren" muss... oder ist das so...?
Wenn das so wäre widerspricht sich das meiner Meinung nach aber damit das sich durch Kürzen der Wert eines Bruchs nicht verändert.

Wenn man die Definitionsmenge nur für den Ursprungsterm aufstellen soll, dann wüsste ich trotzdem nicht wann ich kürzen "darf" und wann nicht. Endet der Term dann nach dem Kürzen doch in einem "nicht definiert" kann der Definitionsbereich den ich zuvor aufgestellt hatte ja nicht richtig sein...

03.10.2010, 19:44

Equester

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Du hast eine Defintionsmenge...die gilt für den Ausgangsterm! Egal wie dieser lautet.
Denn wenn du in den Ausgangsterm deinen Wert einsetzt bekommst du "keine Lösung".
Ob du danach kürzen kannst ist in dem Sinne irrelevant Augenzwinkern

Aber man kann damit eine
Aussage treffen.
Wenn du eine Defintionslücke hast, hast du an dieser Stelle auch eine Polstelle.
Aber eben nicht, wenn diese Definitionslücke "hebbar" ist Augenzwinkern

04.10.2010, 10:29

Gast24032013

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Danke erstmal dafür das du noch nicht aufgegeben hast!
Es tut mir daher umso mehr leid das ich irgendwie immer verwirrter bin. Gott

Also... wenn ich deinen letzten Post richtig verstanden habe, dann gilt der Definitionsbereich nur für den ursprünglichen Ausgangsterm und ich stelle ihn auch nur für diesen auf. Was sich danach weiter ergibt, beim Kürzen etc., ändert nichts mehr an den Definitionslücken.

Normalerweise sind die Definitionslücken in Bruchtermen Nullstellen (= eine Form der Polstelle?), allerdings nur wenn ich den Teil des Terms der 0 werden könnte nicht wegkürzen kann.

Lautet mein eigentliches Problem dann "Was macht man bei einer hebbaren Polstelle?" ? verwirrt

04.10.2010, 11:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Essartsnhabnie
Normalerweise sind die Definitionslücken in Bruchtermen Nullstellen (= eine Form der Polstelle?), allerdings nur wenn ich den Teil des Terms der 0 werden könnte nicht wegkürzen kann.

Ich verstehe nicht so recht, was du da sagen willst. Bei Bruchtermen sind die Definitionslücken generell die Nullstellen des Nenners. Fertig.

Zitat:

Original von Essartsnhabnie
Lautet mein eigentliches Problem dann "Was macht man bei einer hebbaren Polstelle?" ? verwirrt

Es gibt keine hebbare Polstelle, sondern allenfalls eine hebbare Definitionslücke, die dann aber auch keine Polstelle war. Sollte man durch Kürzen des ursprünglichen Bruchterms feststellen, daß eine ursprüngliche Definitionslücke nicht mehr Nullstelle des Nenners ist, so kann man bei dem durch Kürzen entstandenen Bruchterm den Definitionsbereich erweitern, indem man den Definitionsbereich um die ursprüngliche Definitionslücke erweitert.

Tipp: bitte vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode. Im IE sehen die fürchterlich aus.

04.10.2010, 11:39

Gast24032013

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Wenn ich dich richtig verstanden habe, müsste ich bei einem Term bei dem sich eine Definitionslücke durch Kürzen aufhebt also folgendermaßen verfahren:

$\begin{eqnarray*} \frac{(8+x)*(3-x)}{(3-x)} \end{eqnarray*}$
D=Q\{3}

Nach dem Kürzen lautet der Term dann:
$\begin{eqnarray*} (8+x) \end{eqnarray*}$
Dadurch ist der ursprüngliche Definitionsbereich nicht mehr gültig und der neue Definitionsbereich ist:
D=Q

Bedeutet das dann man muss einen Bruchterm in jedem Fall kürzen um herauszufinden ob die Definitionslücken korrekt sind?
Wie verträgt sich dieser Umstand damit das allgemein gilt "Kürzen ändert den Wert eines Bruchs nicht."?

04.10.2010, 12:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Essartsnhabnie
Nach dem Kürzen lautet der Term dann:
$\begin{eqnarray*} (8+x) \end{eqnarray*}$
Dadurch ist der ursprüngliche Definitionsbereich nicht mehr gültig und der neue Definitionsbereich ist:
D=Q

Ganz so hatte ich es nicht gemeint. Nach dem Kürzen bleibt der Definitionsbereich erstmal bei D=Q\{3}. Man kann dann sagen, daß man bei dem nun enstandenen Term (8+x) den Definitionsbereich auf D_neu = Q erweitert.

Zitat:

Original von Essartsnhabnie
Bedeutet das dann man muss einen Bruchterm in jedem Fall kürzen um herauszufinden ob die Definitionslücken korrekt sind?

Wieso sollte man? Ob die Definitionslücken korrekt sind, hängt doch nur davon ab, ob man die Nullstellen des Nenners korrekt berechnen kann.

Zitat:

Original von Essartsnhabnie
Wie verträgt sich dieser Umstand damit das allgemein gilt "Kürzen ändert den Wert eines Bruchs nicht."?

Dieser Grundsatz gilt nach wie vor, allerdings nur bei Beibehaltung des Definitionsbereichs.

04.10.2010, 13:27

Gast24032013

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Danke auch dir für die Hilfe, ich finde dieses Thema sehr kompliziert. Vielleicht weil es so grundlegend ist.

Zumindest glaube ich nun erkannt zu haben das eine Defintionsmenge immer Term spezifisch ist. Zuvor hatte ich immer den Eindruck ich gebe die Definitionsmenge für die gesamte "Aufgabe" an.
Dabei erscheint es mir so logischer. Eine Definitionslücke kann natürlich immer nur zu dem jeweiligen Term gehören. Und nicht zu einer kompletten Rechnung.

Daher stellt sich dann ja erstmal nur noch die Frage in welcher Weise unterschiedliche Defintionslücken von verschiedenen Termen einer Rechnung die Lösungsmenge der gesamten Rechnung beschränken.

Ich denke das habt ihr gemeint mit erweitern, bzw. aufheben oder..? Sollten sich im Verlauf einer Rechnung unterschiedliche Definitionslücken ergeben so "addieren" sie sich nicht sondern schließen sich gegenseitig aus. Könnte man also sagen eine Definitionslücke beschränkt nur dann die Lösungsmenge wenn sie sich nicht "rausrechnen" lässt?

04.10.2010, 13:56

Equester

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Lass es mich nochmals anders versuchen.
Vllt beantworten sich dann deine Fragen Augenzwinkern

Dein Ausgangsterm ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{3(x+1)}{x*(x+1)} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun die Definitionsmenge aufschreiben soll, wäre das ja gesamt R...au0er
0 und -1!

Das bleibt so! D=R\{-1;0} -> für die ganze Aufgabe!

Jetzt rechne aber mal weiter -> Will heißen du kürzt $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$
Dann steht ja da nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x} \end{eqnarray*}$ . Wenn man dich jetzt fragt, wie die Funktion
für x=-1 aussieht, kannst du sagen y=-3. Das wäre korrekt.
Wenn du aber in die Ausgangsfunktion gehst, funktioniert das nicht -> die Funktion
ist für x=-1 nicht definiert! Und nur das gilt!

Man sieht aber im Schaubild, dass es eigentlich einen Punkt geben müsste -> eben dass
es sich bei x=-1 um eine hebbare Definitionslücke handeln müsste.
(Schau dir den unterschied zwischen x=0 und x=-1 an!)

Du siehst, bei x=-1 geht der Graphen nicht "auseinander". Es gibt keine Polstelle.
Bei x=0 ist das aber der Fall! (Siehe Schnittpunkt P(-1/-3))

Weitermachen könnte man so:
Du erweiterst den Ausgangsterm: $\begin{eqnarray*} \frac{3(x+1)}{x*(x+1)} \end{eqnarray*}$
mit z.B. *(x-2).
$\begin{eqnarray*} \frac{3(x+1)*(x-2)}{x*(x+1)*(x-2)} \end{eqnarray*}$
Wenn man dich jetzt nach dem Definitionsbereich fragt, ist es ganz klar
D=R\{-1;0;2}
Nach dem Ausgangsterm darfst du x=2 aber sehr wohl wählen! Nur das allein
zählt! (Dass heißt in eben diesem Moment ist x=2 nicht zu benutzen, aber wenn
du weitere Rechenschritte machst und x=2 als Lösung erhälst ist das korrekt! (Probe!))

Viel Text :P Ich hoff es bringt das ganze etwas näher smile

@klarsoweit: Du kannst ja nochmals drüberschaun, ob ich ne Falschaussage drin hab xD
Oder was elementares Vergessen...

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