Legendre-Symbol

03.10.2010, 21:21	pi_mal_Daumen	Auf diesen Beitrag antworten »
Legendre-Symbol Hallo! Ich habe hier gerade ne Aufgabe, wo ich etwas unsicher bin: Berechnen Sie die Summe $\begin{eqnarray} (\frac{1}{23}) + (\frac{2}{23}) + (\frac{4}{23}) + (\frac{5}{23}) \end{eqnarray}$ Ich habe mir nun einmal die ersten 23 Quadrate und deren Rest modulo 23 berechnet. Quadrat: 1 Rest: 1 Quadrat: 4 Rest: 4 Quadrat: 9 Rest: 9 Quadrat: 16 Rest: 16 Quadrat: 25 Rest: 2 Quadrat: 36 Rest: 13 Quadrat: 49 Rest: 3 Quadrat: 64 Rest: 18 Quadrat: 81 Rest: 12 Quadrat: 100 Rest: 8 Quadrat: 121 Rest: 6 Quadrat: 144 Rest: 6 Quadrat: 169 Rest: 8 Quadrat: 196 Rest: 12 Quadrat: 225 Rest: 18 Quadrat: 256 Rest: 3 Quadrat: 289 Rest: 13 Quadrat: 324 Rest: 2 Quadrat: 361 Rest: 16 Quadrat: 400 Rest: 9 Quadrat: 441 Rest: 4 Quadrat: 484 Rest: 1 Quadrat: 529 Rest: 0 Quadrat: 576 Rest: 1 Quadrat: 625 Rest: 4 Wie man sieht, sind 1,2 und 4 ja quadr. Reste. und 5 nicht. Also 1+1+1-1 = 2. Stimmt das so? Was mir eher aufm Herzen liegt: Kann ich das ganze auch irgendwie berechnen, ohne die ganzen Quadrate und die zugehörigen Reste zu errechnen?
03.10.2010, 21:33	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ergebnis ist auf jeden Fall richtig. Aber es geht natürlich etwas einfacher. Klarerweise gilt $\begin{eqnarray} \left( \frac 1 {23} \right) = \left( \frac{4}{23} \right) = 1 \end{eqnarray}$ , denn 1 und 4 sind bereits in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Quadrate. Was $\begin{eqnarray} \left( \frac{2}{23} \right) \end{eqnarray}$ angeht, so kann man eine vollständige Charakterisierung angeben, für welche $\begin{eqnarray} p\in \mathbb{P} \end{eqnarray}$ 2 quadratischer Rest modulo p ist. Vielleicht kennst du diese. Ansonsten kann man zum Beispiel $\begin{eqnarray} \left( \frac{n}{p} \right) \equiv n ^{\frac{p-1}{2}} \pmod p \end{eqnarray}$ verwenden. Dem $\begin{eqnarray} \left( \frac{5}{23} \right) \end{eqnarray}$ würde ich mit dem quadratischen Reziprozitätsgesetz zu Leibe rücken.
05.10.2010, 11:40	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein Tipp: Es ist $\begin{eqnarray} 2\equiv 25\pmod {23} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \left( \frac 2 {23} \right) = \left( \frac{25}{23} \right) = 1 \end{eqnarray}$ , da 25 in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ein Quadrat ist. Wenn man bei einem Legendre-Symbol irgendwie berechnet hat, dass es 1 ist, ist es auch allgemein keine schlechte Idee, mal zu überprüfen, ob man nicht irgendwelche Quadrate in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ erkennen kann. Jedenfalls ist das eine mögliche Probe. Gruß, Reksilat.

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