wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

04.10.2010, 17:40	serro	Auf diesen Beitrag antworten »
wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Meine Frage: Wozu gibt es die erzeugende Funktion und die Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion. Was genau machen diese... Meine Ideen: leider keine...
04.10.2010, 18:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht wohl um Zufallsgrößen mit den nichtnegativen ganzen Zahlen als Werten. Dann verpackt die erzeugende Funktion die gesamte Verteilung der Zufallsgröße komprimiert in einem analytischen Ausdruck. Zudem lassen sich oft statistische Kennzahlen wie Erwartungswert und Varianz leicht mit Hilfe der erzeugenden Funktion bestimmen. Ein schönes Beispiel ist die Binomialverteilung mit den Parametern $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P(X=k) = {n \choose k} p^k q^{n-k} \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} q = 1-p \end{eqnarray}$ ) Die erzeugende Funktion ist $\begin{eqnarray} f(t) = \sum_{k=0}^{\infty} {n \choose k} p^k q^{n-k}~t^k = \left( q + pt \right)^n \end{eqnarray}$ Die ausführliche Formel für die $\begin{eqnarray} P(X=k) \end{eqnarray}$ von oben enthält genau dieselben Informationen wie der analytische Ausdruck $\begin{eqnarray} (q + pt)^n \end{eqnarray}$ . Denn aus einer analytischen Funktion kann man ihre Taylorkoeffizienten zurückgewinnen. Zudem findet man sofort Erwartungswert und Varianz: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(X) = f'(1) = p \cdot n \left( q+p \right)^{n-1} = np \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{E} \left( X^2 \right) = f'(1) + f''(1) = np + p^2 \cdot n (n-1) \left( p+q \right)^{n-2} = np + n(n-1) p^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(X) = \mathcal{E} \left( X^2 \right) - \left( \mathcal{E} (X) \right)^2 = np + n(n-1) p^2 - n^2 p ^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = np \left( 1 + (n-1) p - np \right) = np (1-p) = npq \end{eqnarray}$ Natürlich kann man diese Formeln auch auf viele andere Arten und Weisen herleiten. Der Vorteil der erzeugenden Funktion ist aber das mechanische Prinzip, das einem diese Formeln liefert.
05.10.2010, 11:15	serro	Auf diesen Beitrag antworten »
wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Danke schön...und wie sieht das Ganze aus für die Poissonverteilung?
06.10.2010, 11:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ der Erwartungswert einer Poissonverteilung, so lautet die erzeugende Funktion $\begin{eqnarray} f(t) = \operatorname{e}^{\mu (t-1)} \end{eqnarray}$ Die Herleitung ist denkbar einfach. Du kannst es ja selbst einmal versuchen.

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