Ringtheorie

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eisley Auf diesen Beitrag antworten »
Ringtheorie
hallo zusammen!

als erstes die Aufgabenstellung:
Zeigen Sie und bestimmen Sie

Also die erste Teilaufgabe war kein Problem. Ich kann nun den Vorlesungsunterlagen nicht entnehmen, was ist..

könnte mir jemand bei dessen Bestimmung helfen?
schon mal lieben Dank!

eisley
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind die Einheiten, also die invertierbaren Elemente.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

ah das wäre ja einfach 1, -1, i und -i, richtig?

..wenn ich denn dann zum Beispiel noch



zeigen müsste.

Reicht die Argumentation, dass Unterring von , von und ist Unterring von ..?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das passt, kann man bspw. mit dem Betrag beweisen.

Bei deiner Argumentation verstehe ich noch nicht wo das "i" vorkommt
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

.. ich bin jetzt noch einmal die Unterlagen durchgegangen.. bin aber nicht so richtig vorwärts gekommen. wie müsste ich denn an die Sache heran gehen?

also um zu zeigen:
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist trivial. ist nach Definition der kleinste Körper der die rationalen Zahlen und i enthält. enthält beides, also gilt die Inklusion
 
 
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer vielen lieben Dank!

..ich habe gerade noch einmal ein Lehrbuch zur Hand genommen und bin da über etwas gestolpert:


Vielleicht behandeln wir das noch, aber es würde mich jetzt gerade Wunder nehmen, wie man das bestimmen kann.

Danke für die Hilfe !
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Komplett gleiche Argumentation wie vorhin
eisley Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringtheorie
okay - aber wenn hier gefragt ist "bestimme"

das würde ja lediglich bedeuten, dass man



angeben muss? verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da fehlen die Elemente der Form
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

und wie müsste man das notieren? ich kann hier nichts dazu finden.. unglücklich
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Naja anstatt des Gitteraufspanns von nimmst du eben die korrekte Gitterbasis
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ziemlich logisch! haha..

dann würde es also heissen:

kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja passt.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

hallo kiste!

ich habe noch einmal über die Aufgaben nachgedacht.. und würde das gerne genauer notieren..

Also bei:



handelt es sich ja um den Quotientenkörper des Ringes der ganzen Zahlen. Damit müssen zuerst die folgenden Eigenschaften notiert werden:

  • auf sei eine Äquivalenzrelation wie folgt erklärt

  • die Addition und Multiplikation ist vertreterweise definiert
  • das neutrale Element bezüglich der Addition ist , das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist
  • das Inverse bezüglich der Addition ist durch gegeben, für ist das Inverse bezüglich der Multiplikation durch gegeben


Abstrakt kann dieser Quotientenkörper durch die universelle Eigenschaft definiert werden.

Ich weiss aber nicht, wie ich da einbringen muss.. unglücklich

Somit wäre dann definiert und man kann mit der von dir schon genannten Begründung sagen, dass die Inklusion gilt.

Vielen Dank für deine Hilfe !

eisley
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Naja du machst die gleiche Konstruktion wie schon bei Z bloß dass du jetzt eben Z[i] nimmst. Das einzige was also verändert wird ist der Zahlbereich aus dem deine a,b,c,d kommen.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

müsste ich dann nicht konkret in der Äquivalenzrelation notieren?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein warum?

i ist nur ein x-beliebiges Element von Z[i]. Es verdient hier keine Sonderbehandlung Augenzwinkern
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

für einmal nicht! wie schön! haha - lieben Dank dir für deine Hilfe und Geduld
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