Steigungswinkel zwischen Tangentialfläche und Winkelhalbierenden

04.10.2010, 20:19	Julie1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Steigungswinkel zwischen Tangentialfläche und Winkelhalbierenden Hi ich hab eine neue ungelöste Aufgabe bzgl. Tangentialebenen im Angebot Erstmal zur Aufgabenstellung: Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = x^2-xy+y^2 \end{eqnarray}$ und die Tangentialfläche an den Graphen der Funktion im Punkt $\begin{eqnarray} a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ f(1,2)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Welchen Steigungswinkel bildet diese Fläche zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten (d.h. $\begin{eqnarray} xy\geq 0 \end{eqnarray}$ )? Nun zu meinen Überlegungen: Zuerst suche ich die Tangentialfläche: Der Gradient ist der Normalvektor auf der Tangentialfläche im Punkt a. $\begin{eqnarray} a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = x^2 - xy +y^2 \Rightarrow 0 = x^2 - xy +y^2 -z \end{eqnarray}$ Den Gradienten davon nenne ich g. Also $\begin{eqnarray} g = (2x-y, -x+2y,-1)<br /> <br /> g \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist nun der Normalvektor zur gesuchten Tangentialfläche, welcher orthogonal zu allen Vektoren der Tangentialfläche ist. Daraus folgt, dass das Skalarprodukt aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und einem beliebigen Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aus dieser Ebene immer Null ergibt. Daher muss das Skalarprodukt aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \\ z-3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ebenfalls Null ergeben, woraus nun folgt die Tangetialfläche entsteht $\begin{eqnarray} (x-1)0+(y-2)3+(z-3)-1 = 0 \Rightarrow 3y-z+3=0. \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig? Mein Kommilitone hat nämlich leider eine andere Ebene gefunden indem er nach x und y differenziert hat etc. Wenn ja, dann müsste ich jetzt den Winkel zwischen der Winkelhalbierenden und dieser Ebene finden. Anschaulich ist mir klar was gesucht ist aber ich weiss nicht wie ich weiter voran gehen kann.
04.10.2010, 22:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gegebene Funktion kann man anschaulich als "Gebirge" über der xy-Ebene interpretieren $\begin{eqnarray} z(x,y)=x^2-xy+y^2 \end{eqnarray}$ Dabei gibt z(x,y) die Höhe des Gebirges über der xy-Ebene an. Die Tangentialebene wird stets von 2 Tangentialvektoren aufgespannt. Wie dein Kommilitone richtig sagte, erhält man diese Tangentialvektoren durch die partielle Ableitung des Vektors (x\|y\|z(x;y)) nach x bzw. nach y. Mache dir dies anschaulich klar!!! Die Tangentialvektoren lauten also $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec x}{\partial x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2x-y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec x}{\partial y}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2y-x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also wird die Tnagentialebene über dem Punkt (x\|y)=(1\|2) durch folgende Vektoren aufgespannt $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec x}{\partial x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec x}{\partial y}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Winkelhalbierende des 1.Quadranten hat die gleiche Richtung wie der Vektor $\begin{eqnarray} \vec c =(1\|1\|0) \end{eqnarray}$ . Den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zwischen diesem Vektor und dem Normalvektor der Ebene gewinnt man durch $\begin{eqnarray} \sin(\alpha)=\frac{\|\vec N \times \vec c\|}{\|\vec N\| \cdot \|\vec c\|} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \vec N \end{eqnarray}$ der (nicht notwendig normierte) Normalvektor auf der Tangentialebene, also das Kreuzprodukt der beiden Tangentialvektoren. Wie gewinnt man daraus den Winkel zwischen der Ebene und der Winkelhalbierenden?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »