Vektoralgebra Richtungskräfte

04.10.2010, 20:25

4591

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Vektoralgebra Richtungskräfte

Meine Frage:
Hallo,
wir haben folgende Aufgabe von unserem Mathe-Prof gestellt bekommen und ich komme nicht weiter. Alles was er zur Aufgabe noch gesagt hat war, dass die Kräfte addiert gleich Null ergeben müssen.
Ich habe leider noch keinerlei Ansatz für die Aufgabe gefunden, also wenn mir nur einer einen guten Denkanstoß geben könnte wäre mir schon sehr geholfen, denn die Vektoralgebra an der Uni ist doch schon am Anfang was anderes als in der Schule ...

Meine Ideen:
Laut Prof sollen alle Kräfte Null ergeben, wenn man sie addiert...

04.10.2010, 21:08

Huggy

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RE: Vektoralgebra Richtungskräfte

Zitat:

Original von 4591
Meine Ideen:
Laut Prof sollen alle Kräfte Null ergeben, wenn man sie addiert...

Wenn dir das gesagt wurde, ist es keine Idee von dir. Die Idee ist, diesen Sachverhalt auszunutzen.

Die Aufgabe ist nur sinnvoll, wenn man annimmt, dass die Stäbe in ihren Lagerpunkten gelenkig gelagert sind.
Die Summe aller Kräfte im Punkt P muss 0 ergeben. Die Kräfte in den Stäben seien $\begin{eqnarray*} \vec K_A, \vec K_B, \vec K_C \end{eqnarray*}$ . Die Kräfte $\begin{eqnarray*} \vec K_A, \vec K_B \end{eqnarray*}$ haben keine senkrechte Komponente. Also muss die senkrechte Komponente von $\begin{eqnarray*} \vec K_C \end{eqnarray*}$ = - G sein. Da du die Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec K_C \end{eqnarray*}$ kennst, kannst du daraus die waagrechte Komponte von $\begin{eqnarray*} \vec K_C \end{eqnarray*}$ berechnen.

Diese waagrechte Komponente in x-Richtung muss je zur Hälfte (wegen der Symmetrie des Problems) von den Kraftkomponenten von $\begin{eqnarray*} \vec K_A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec K_B \end{eqnarray*}$ in x-Richtung aufgenommen werden. Und da du die Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec K_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec K_B \end{eqnarray*}$ kennst, kannst du daraus deren y-Komponente berechnen.

04.10.2010, 21:26

4591

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Schonmal Danke für die Antwort.
So etwas ähnliches ist mir auch in den Sinn gekommen, nur habe ich Probleme damit, die Kraftvektoren herauszufinden.

Für den Vektor Kc muss dann also die z-Koordinate -100 sein?! und die Richtung von Kc ist durch die Punkte P und C vorgegeben mit (-4, 0, 5)?!
Was hat es mit der waagerechten Komponente auf sich? Wirkt diese entgegen der x-Achse und berechne ich die ganz normal über Vektoraddition?

04.10.2010, 22:17

Huggy

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Zitat:

Original von 4591
Für den Vektor Kc muss dann also die z-Koordinate -100 sein?! und die Richtung von Kc ist durch die Punkte P und C vorgegeben mit (-4, 0, 5)?!

Zweimal ja.

Zitat:

Was hat es mit der waagerechten Komponente auf sich? Wirkt diese entgegen der x-Achse und berechne ich die ganz normal über Vektoraddition?

Nochmal ja.
Die Kraftkomponenten und die resultierende Kraft bilden ein rechwicnkliges Dreieck, dessen Winkel du aus der Geometrie der Anordnung kennst.

05.10.2010, 07:21

4591

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Wow, dass ich da richtig gedacht habe, erleichtert mich ja schon ein wenig, denn wenn man überhaupt keinen Ansatz hat, dann kann man schon schnell verzweifeln smile

smile

Okay, also das rechtwinklige Dreieck besteht dann aus G, welches nach unten wirkt, aus Kc, welches diagonal nach oben wirkt und xc hab ich es mal getauft, welches entgegen der x-Achse wirkt.

Daraus folgt dann, dass xc= -Kc-G ?!

Die Richtung der Vektoren sitzt bei mir noch nicht ganz, weil uns das in der Schule leider nie beschäftigt hat...

05.10.2010, 08:52

Huggy

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Zitat:

Original von 4591
Okay, also das rechtwinklige Dreieck besteht dann aus G, welches nach unten wirkt, aus Kc, welches diagonal nach oben wirkt und xc hab ich es mal getauft, welches entgegen der x-Achse wirkt.

Das ist nicht ganz richtig. Die z-Komponente von $\begin{eqnarray*} K_C \end{eqnarray*}$ ist der Gewichtskraft entgegengerichtet, zeigt also nach oben. Die Zeichnung ist da auch nicht ganz korrekt. Es müsste G = -100 N heißen, da die Gewichtskraft entgegen der z-Richtung wirkt

Zitat:

Daraus folgt dann, dass xc= -Kc-G ?!

Ja, aber nur, wenn das als Vektorgleichung gemeint ist Und zu den Vorzeichen siehe meine vorige Anmerkung. Weshalb schreibst du nicht einfach:

$\begin{eqnarray*} \vec K_C= \begin{pmatrix} K_{C,x} \\ K_{C,y} \\ K_{C,z}\end {pmatrix}=\begin{pmatrix} K_{C,x} \\ 0 \\ -G \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus dem Dreieck POC erhält man dann z. B.

$\begin{eqnarray*} \frac{|K_{C,x}|}{|K_{C,z}|}=\frac{|K_{C,x}|}{|-G|}=\frac{|OP|}{|OC|} \end{eqnarray*}$

woraus sich dann $\begin{eqnarray*} |K_{C,x}| \end{eqnarray*}$ berechnen lässt.

Zitat:

Die Richtung der Vektoren sitzt bei mir noch nicht ganz, weil uns das in der Schule leider nie beschäftigt hat...

Die Kräfte in den Stäben sind entlang der Stabrichtung gerichtet.

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05.10.2010, 12:40

Ehos

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Zunächst berechnet man die Einheitsvektoren der 3 Stabrichtungen, indem man die Differenzen der Anfangs- und Endpunkte dieser Stäbe bildet und diese Differenzen anschließend auf 1 normiert. Das ergibt folgende Einheitsvektoren (wenn man die Richtung wie in der Skizze wählt):

$\begin{eqnarray*} \vec n_{AP}=\frac{1}{\sqrt{20}}\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec n_{BP}=\frac{1}{\sqrt{20}}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec n_{CP}=\frac{1}{\sqrt{41}}\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Kräfte, welche innerhalb der 3 Stäbe wirken, sind Vielfache dieser Einheitsvektoren. Man erhält diese Kräfte also, indem man die obigen Einheitsvektoren mit gewissen Vorfaktoren $\begin{eqnarray*} F_{AP}, F_{BP}, F_{CP} \end{eqnarray*}$ multipliziert.

Die Gewichtskraft hat die Einheitsrichtung (0|0|-1) und den Betrag 100. Also lautet der Gewichtskraftsvektor

$\begin{eqnarray*} \vec F_{G}=100 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie der Professor richtig sagte, muss die Summe dieser Kräfte verschwinden, also

$\begin{eqnarray*} F_{AP} \cdot \frac{1}{\sqrt{20}}\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+F_{BP} \cdot\frac{1}{\sqrt{20}}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+F_{CP} \cdot\frac{1}{\sqrt{41}}\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}=100 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die unbekannten Faktoren $\begin{eqnarray*} F_{AP}, F_{BP}, F_{CP} \end{eqnarray*}$ gewinnt man leicht durch Vergleich beider Seiten, wobei aus Symmetriegründen gelten muss $\begin{eqnarray*} F_{AP}=F_{BP} \end{eqnarray*}$ .

05.10.2010, 17:01

4591

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Woh, der Weg von dir Ehos sieht einleuchtend aus...
ich hab jetzt mal nen ganz anderen Ansatz versucht und dafür eine Lösung rausbekommen, die auch Sinn zu machen scheint. Wäre nett, wenn man mich korrigieren bzw. bestätigen könnte.

Also, ich hab das ganze mal über eine Linearkombination gemacht, also so wie Ehos, nur nicht mit den Normaleneinheitsvektoren, sondern mit den Richtungsvektoren.

$\begin{eqnarray*} s*\vec a + t*\vec b + u*\vec c= \vec G \end{eqnarray*}$

Hab dann ein LGS gebildet und die Parameter s, t und u berechnet:
s= 10, t=10 und u = -20

Diese dann mit den Richtungsvektoren multipliziert und erhalte dann als Kraftvektoren:

$\begin{eqnarray*} \vec K_a (-40, -20, 0) , \vec K_b (-40, 20, 0), \vec K_c (-80, 0, -100) \end{eqnarray*}$

Richtig gerechnet oder nicht?
Von dem Egebnis her scheint es plausibel, da $\begin{eqnarray*} \vec K_c \end{eqnarray*}$ der einzige ist, der eine nach z-gerichtet Kraft erfährt und die anderen beiden Vektoren aufgrund der Symmetrie identisch sind, bis auf die unterschiedliche y-Richtung.
Somit wäre die Aufgabe dann gelöst oder?

Vielen Dank schonmal

05.10.2010, 17:52

Huggy

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Die Zahlen stimmen, aber die Vorzeichen teilweise nicht. Bei dir sind z. B. alle x Komponenten negativ. Da kann die Summe nicht 0 ergeben.

Man sieht mal wieder, viele Wege führen nach Rom. Im Endeffekt beruhen aber alle auf den geometrischen Verhältnissen der rechtwinkligen Dreiecke.

06.10.2010, 06:34

4591

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Hm...aber durch das LGS bekomme ich positive Werte für die Parameter s und t raus, wodurch die negativen x-Werte vorprogrammiert sind.
Sowieso steht doch in der Aufgabe, welche Richtungskräfte die Stäbe aushalten müssen und da würden negative x-Werte doch Sinn machen, weil sie ja die 40 Newton, die in x-Richtung ziehen, aushalten müssen, dementsprechend wirkt doch eine Kraft von -40 Newton in x-Richtung...
Es kommt doch dann nur auf die Betrachtungsweise an, ob man jetzt guckt welche Richtungskräfte auf die Stäbe wirken oder welche Richtungskräfte die Stäbe selber aufweisen müssen, damit das ganze nicht zusammenbricht....oder irre ich mich da?
Wenn ja, dann weiß ich nicht wo mein Fehler beim rechnen ist.
Habe für die Richtungsvektoren immer die Differenz von den Eckpunkten zu P gebidet also:

$\begin{eqnarray*} \vec a (-4, -2, 0), \vec b (-4, 2, 0) , \vec c (-4, 0, 5) \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Hab gerade festgestellt, dass der Kraftvektor $\begin{eqnarray*} \vec Kc (80, 0, 100) \end{eqnarray*}$ lauten müsste nach meiner Rechnung. Hatte nicht drauf geachtet, dass u= -20 ist...
Jetzt stellt sich mir also nur die Frage, ob die Werte so rum richtig sind, oder ob alles mit -1 multipliziert die Lösung der Aufgabe ist. Denn dem Aufgabentext nach wäre für mich meine Lösung plausibel, aber ihr könnt mich auch vpm Gegenteil überzeugen smile

smile

06.10.2010, 09:03

Huggy

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Deine Richtungsvektoren stimmen. Auf ihr Vorzeichen kommt es nicht an. Wenn du bei einem oder mehreren Richtungsvektoren die Vorzeichen umkehrst, bekommst du eine Lösung, bei der die Vorzeichen der entsprechenden Faktoren s, t und u auch umgedreht sind. Das Ergebnis, nämlich die Kräfte $\begin{eqnarray*} s \vec a, t \vec b, u \vec c \end{eqnarray*}$ bleibt dabei unverändert.

Vorzeichen ergeben sich aus Konventionen und Gesetzen. Hier ergeben sie sich aus der Konvention für die Richtung der äußeren Kraft, d. h. der Gewichtskraft, und dem Gesetz, dass die Summe aller Kräfte in einem Punkt, der sich nicht bewegt, 0 sein muss. Das Gesetz lautet also für den Punkt P korrekt:

$\begin{eqnarray*} s \vec a + t \vec b + u \vec c + \vec g =0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \vec g \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \vec g = (0, 0, -100) \end{eqnarray*}$

Der Rest ist reine Rechnung. Da kann man über die Vorzeichen nicht mehr philosophisch diskutieren. Es folgt jetzt rechnerich u = 20, also

$\begin{eqnarray*} u \vec c = (-80, 0, 100) \end{eqnarray*}$

Das Übel beginnt bei dir vielleicht damit, dass du die Gewichtskraft auf die rechte Seite geschrieben hast. Dann ist aber die Summe der Kräfte in P nicht mehr 0. Wenn du das machst, muss auf der rechten Seite das negative der Gewichtskraft stehen.

06.10.2010, 09:30

Ehos

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Wenn man die z-Komponenten meiner letzten Vektorgleichung vergleicht, ergibt sich ohne Rechnung

$\begin{eqnarray*} F_{CP}=400\cdot \sqrt{41} \end{eqnarray*}$

Da die Zahlen $\begin{eqnarray*} F_{AP} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{BP} \end{eqnarray*}$ identisch sind, ist die y-Komponenten dieser Vektorgleichungen immer erfüllt. Durch Vergleich der x-Komponenten dieser Vektorgleichung ergibt sich die Forderung

$\begin{eqnarray*} -\frac{4 F_{AP}}{\sqrt{20}}-\frac{4 F_{BP}}{\sqrt{20}}+\frac{5F_{CP}}{\sqrt{41}}=0 \end{eqnarray*}$

Setzt man hier für $\begin{eqnarray*} F_{CP} \end{eqnarray*}$ die obige Lösung ein und berücksichtigt $\begin{eqnarray*} F_{AP}=F_{BP} \end{eqnarray*}$ , so folgt

$\begin{eqnarray*} F_{AP}=F_{BP}=250 \sqrt{20} \end{eqnarray*}$

Die gesuchten Kräfte $\begin{eqnarray*} \vec F_{AP}, \vec F_{BP}, \vec F_{CP} \end{eqnarray*}$ innerhalb der 3 Stangen erhält man, wenn man die eben berechneten Zahlen $\begin{eqnarray*} F_{AP},F_{BP},F_{CP} \end{eqnarray*}$ mit den Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec n_{AP}, \vec n_{BP}, \vec n_{CP} \end{eqnarray*}$ multipliziert. Dann kürzen sich die Wurzeln raus, und man erhält

$\begin{eqnarray*} \vec F_{AP}=250 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}=500 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec F_{BP}=250 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}=500 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec F_{CP}=400 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist interessant, dass die 3 Kräfte innerhalb der Stangen viel größer sind (betragsmäßig) als die Gewichtskraft 100 N, die hängt. Das ist bei der Konstruktion derartiger "Gerüste" zu berücksichtigen.

06.10.2010, 10:25

Huggy

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Zitat:

Original von Ehos
Wenn man die z-Komponenten meiner letzten Vektorgleichung vergleicht, ergibt sich ohne Rechnung

$\begin{eqnarray*} F_{CP}=400\cdot \sqrt{41} \end{eqnarray*}$

Ohne Rechnung kann man das schon bekommen. Mit Rechnung ergibt sich allerdings:

$\begin{eqnarray*} F_{CP}=25\cdot \sqrt{41} \end{eqnarray*}$

06.10.2010, 10:30

Ehos

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@Huggy
Du hast recht. Danke für die Korrektur. Dann sind natürlich meine anderen Ergebnisse ebenfalls zu korrigieren.

06.10.2010, 16:33

4591

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Also irgendiwe hat Ehos für den Vektor Fc komische Koordinaten bzw. sind die x und die z-Komponente doch vertauscht?!!!
Sind denn die folgenden Kraftvektoren dann die Lösung der Aufgabe (so langsam habe ich nämlich keine Lust mehr an der Aufgabe rumzurechnen Big Laugh

Big Laugh

):

$\begin{eqnarray*} \vec Fa (40, 20, 0), \vec Fb (40, -20, 0), \vec Fc (-80, 0, 100) \end{eqnarray*}$

Vom Betrag her sind die Vektoren Fa und Fb gleich, identisch so wie Ehos es geschrieben hat, geht ja wohl schlecht, da die Vektoren in unterschiedliche Richtungen zeigen, oder irre ich mich da?
Wenn die Aufgabe gelöst ist, gibts da noch ne zweite, weitaus kompliziertere Aufgabe zu lösen und das bis Montag >.<
Also, wäre gut, wenn ich wenigstens diese Aufgabe schonmal abhacken könnte ^^

06.10.2010, 17:46

Huggy

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Das sind die korrekten auf den Punkt P wirkenden Kräfte.
Ob ihr die Kräfte. die die Stäbe aushalten müssen, mit umgekehrtem Vorzeichen definiert habt, kann ich nicht sagen. Da musst du eventuell dein Skript befragen. Die Formulierung ist eh seltsam, denn eigentlich müssen die Stäbe keine Richtungskräfte aushalten, sondern den Betrag der Richtungskraft. Und bei dem Betrag ist dann die Frage, ist es eine Zug- oder eine Druckkraft. Das ist aber hier leicht zu sehen. Der Stab C wird auf Zug belastet. Die Stäbe A und B werden auf Druck belastet.

06.10.2010, 18:37

4591

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Wow, endlich kann ich die Aufgabe abhcken, vielen Dank für die tolle Unterstützung.
Die Formulierung der Aufgabe war auch das, was mich am meisten irritiert hat, das eigentliche rechnen war ja eher 12. Klasse Niveau.
Wie das mi den Kräften dann letzlich aussieht, werde ich dann erfahren, wenn die Aufgabe besprochen wurde.
Also vielen Dank smile

smile

*Aufgabe abgehackt, juhu*

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