sinus ableiten mit h-Methode

09.11.2006, 23:37

Querkopf

sinus ableiten mit h-Methode

f(x)=sin(2x)
wie kann ich diese Rechnung mit der h-Methode ableiten?
das Ergebniss soll f'(x) = 2*cos (2x) sein. So oft ich auch rechne es kommt bei mir immer f(x)=cos(2x) raus, es fehlt mir die 2 vor dem cos.
Wer kenn mir helfen?

09.11.2006, 23:41

tigerbine

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RE: sinus ableiten mit h-Methode
Wo ist die innere ableitung geblieben?

10.11.2006, 10:52

Lichy

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RE: sinus ableiten mit h-Methode
Nachdifferenzieren? Du muss erst den sin(2x) ableiten = cos (2x) dann aber noch mal der Ableitung von 2x = 2 Daraus folgt 2cos (2x)

Nennt sich Kettenregel, einfach mal suchen

10.11.2006, 12:09

mYthos

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Hi!

Jetzt muss ich schon mal was dazu bemerken, denn ihr beide liegt hier (methodisch) falsch!

Wenn die Ableitung von sin(2x) mit der h-Methode zu ermitteln ist, braucht man selbstverständlich keine Kennntnis von der Kettenregel haben, denn diese ist in dieser Methode ja impliziert, d.h. mit der h - Methode allein muss bereits das richtige Ergebnis erzielbar sein.

In sin(2x) muss x zu Beginn durch x + h ersetzt werden, deswegen kommt dann 2x + 2h:

$\begin{eqnarray*} \frac{d(sin(2x))}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{sin(2x + 2h) - sin(2x)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d(sin(2x))}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{sin(2x)cos(2h) + cos(2x)sin(h) - 2in(2x)}{h} \end{eqnarray*}$

sin(2x)cos(h) geht für h -> 0 gegen sin(2x), weil cos(h) -> 1, daher

$\begin{eqnarray*} \frac{d(sin(2x))}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{cos(2x)sin(2h)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d(sin(2x))}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{2sin(h)cos(h) \cdot cos(2x)}{h} \end{eqnarray*}$

berücksichtige wieder: cos(h) -> 1

-------------------------

Nun verwenden wir dieselbe Beziehung, die auch für die Ableitung von sin(x) verwendet wurde (Abschätzung sin(x), x), nämlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} = 1 \end{eqnarray*}$

-------------------------

$\begin{eqnarray*} \frac{d(sin(2x))}{dx} = \lim_{h \to 0}2cos(2x) \cdot \frac{sin(h)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d(sin(2x))}{dx} = 2cos(2x) \end{eqnarray*}$

mY+

12.11.2006, 21:48

Querkopf

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sinus ableiten mit h-Methode
vielen herzlichen Dank! Hab es jetzt verstanden und meinen Fehler gefunden!
Freude

12.11.2006, 22:27

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \frac{d(sin(2x))}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{sin(2x)cos(2h) + cos(2x)sin(h) - 2in(2x)}{h} \end{eqnarray*}$

sin(2x)cos(h) geht für h -> 0 gegen sin(2x), weil cos(h) -> 1, daher

$\begin{eqnarray*} \frac{d(sin(2x))}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{cos(2x)sin(2h)}{h} \end{eqnarray*}$

Hi mythos! Du willst mir doch nicht glauben machen, dass ich den Limes in Zähler und Nenner ziehen und ihn anschließend einfach wieder davor setzen kann oder? Augenzwinkern

Gruß MSS

12.11.2006, 22:53

mYthos

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@MSS

.. aber du weisst schon, wie's gemeint ist.
Ich hab's halt aufgedröselt, aber natürlich muss man das auf ein Mal machen.

mY+

12.11.2006, 23:08

Mathespezialschüler

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Ich weiß nicht genau, wie es gemeint ist. Bzw. besser gesagt: So, wie ich denke, dass es so gemeint ist, ist es jedenfalls falsch!

Gruß MSS

12.11.2006, 23:12

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Was genau hat denn Mythos falsch gemacht? Ich seh da keinen Fehler!

edit: achso hab es jetzt gesehen- Du meinst den Limes nur für einen Teil anwenden und dann trotzdem weiterverwenden für den anderen Teil... Seh ich auch zum ersten Mal...

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