Beweis über Nilpotente 2x2 Matrizen

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Mazze Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis über Nilpotente 2x2 Matrizen
Also wir sollen eigentlich nicht mal Beweisen sondern in der Zusatzaufgabe steht nur:

Sei K ein Körper entscheiden sie ob es symmetrische nilpotente (2x2) Matrizen ungleich 0 mit einträgen aus K gibt.

Folgende 3 Körper

Reelle Zahlen, Komplexe Zahlen, körper modulo 2

Also der körper modulo 2 besteht aus {0,1} sowie der addition modulo 2 und der multiplikation modulo 2

Als hinweis steht da wir können Beispiele angeben, aber irgendwie is mir das zu billig. Ich würde also einen allgemeinen beweis vorziehen zu zeigen wäre dann

mit

Wobei A natürlich 2x2 ist,


edit

Was ich noch sagen will, ihr sollt mir NICHT den beweis abnehmen, eher so tips geben wie ich den angehen kann Augenzwinkern

Ich habe grad die implikation



det(0) und spur(A) = 0 => A nilpotent wie folgt bewiesen

Satz von ceyley

A² - spur(A)A +det(A)E = 0

<=>

A² - 0A + 0A = 0

<=>

A² = 0

=> A² ist Nilpotent mit p =2 kann man das so machen?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Da du 2x2-Matrizen untersuchst, kannst du eine allgemeine symmetrische 2x2-Matrix A annehmen mit A^2 = 0.
Das sich ergebende Gleichungssystem löst du im jeweiligen Körper.
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe gut das werd ich machen aber ich hab in der beziehung noch ein anderes problem

A ist nilpotent mit p > 2 und det(A) = 0 , ich will folgende Aussage widerlegen

A² = spur(A)*A

Augenscheinlich ist klar, das produkt einer matrix mit sich selbst und das skalare produkt mit einer matrix können nicht übereinstimmen, aber wie zeige ich das?

ah ne is gut hat sich erledigt habs gepackt Augenzwinkern

Eine frage habe ich noch, existieren nilpotente Matrizen



mit p > 2 für 2x2 Matrizen?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Im 2x2-Fall wird es dir schwer fallen, es zu widerlegen, weil bereits A^2 die Nullmatrix ist (wie du oben schon ausgerechnet hast). Da die Spur auch 0 ist, gilt die Gleichung A^2 = Spur(A)*A.

Nein, wie du oben bereits gezeigt hast, ist im 2x2-Fall bereits p=2 (wenn nicht schon p=1 war).
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

die spur(A) ist im letzen post von mir nicht als 0 gegeben. Also ich wollte die implikation



widerlegen, am besten geht das ja mit gegenbeispiel, fällt dir so schnell ein beispeil ein, wo die determinante 0 ist, die matrix nilpotent und die spur nicht 0???

edit ich hätte vieleicht die ganzen teilbeweise mal unterteilen sollen, ich ahbe hier in dem thread an 3 beweisen hantiert, für den ersten dank ich dir nochmal das werd ich bei zeiten machen

A² = spur(A)A bezieht sich auf die implikation in diesem post, das heißt A^P ist nilpotent vorausgesetz und det(0), ich will zeigen (widerlegen) das spur(A) = 0 ist
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Bemerkung am Rande:

Aus A^p = 0 für irgendein p>0 folgt det(A) = 0 mit dem Determinanten-Multiplikationssatz.

Die Spur einer nilpotenten Matrix ist immer 0 - jedenfalls über R und C. Ob das für beliebige Körper gilt, versuche ich gerade herzuleiten...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Spur einer nilpotenten Matrix ist immer 0 - jedenfalls über R und C


Dann wäre also die letze implikation zu beweisen nicht zu widerlegen

Zitat:
Determinanten-Multiplikationssatz.


Da wir den nicht kennen (dürfen) is damit wohl nich viel zu holen
Bis auf den ersten beweis wurde die determinante aber immer als 0 vorrausgesetzt !
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachtest du jetzt immer noch nur 2x2-Matrizen, oder auch größere?
2x2-Matrizen kannst du nämlich wie Irrlicht schon schrieb, durch direkte Rechnung "erschlagen".
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

alles 2x2 , aber wie gesagt durch einfaches nachrechnen wollte iche s nicht machen, aber nun ja wenn ich kein andern weg finde werde ich das tun, das ausgangsproblem des threads is übrigens gelöst, mir gehts jetzt nur um 2 andere aussagen die ich hier nochmal aufliste

a)



b)



für a) habe ich weiter oben einen beweis den irrlicht als richtig erachtet hat, kannst ja auch nochmal drauf gucken ^^
(Beweis im eingangspost)

und b ist deiner aussage zu folge auch war

(Die Aufgabenstellung war beweisen/widerlegen sie da dacht ich eine is falsch eine is richtig traurig )
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beweis der Aussage a) ist (bis auf einen Tippfehler: es muss det(A)*E heissen) richtig.

Die Aussage A^2 = spur(A)*A kann man fuer 2x2-Matrizen ebenfalls mit Ceyley-Hamilton beweisen, denn mit dem Satz folgt sie direkt aus det(A) = 0.
Wenn man jetzt noch wuesste, dass fuer eine 2x2-Matrix aus A^p = 0 stets A^2 = 0 folgt, hat man, dass spur(A) = 0 sein muss.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn man jetzt noch wuesste, dass fuer eine 2x2-Matrix aus A^p = 0 stets A^2 = 0 folgt


Das folgt doch direkt aus meinem Bewies oben per ceyley nehm ich an? Den der Satz von Ceyley gilt für alle matrizen, ergo ist er für alle matrizen wahr. Dadurch das

A² = 0

gilt , können doch sämtliche 2x2 matrizen nur für p = 2 nilpotent sein?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem ersten Beweis hast du aber angenommen, dass det(A) = spur(A) = 0 ist.
Das wollen wir aber erst zeigen, unter der Voraussetzung, dass A^p = 0 ist.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

hm stimmt, :P

Also muss ich zeigen das jede nilpotente 2x2 matrix p=2 hat, da fehlt mir aber spontan der ansatz hm

edit

Ich könnte ja annehmen es gäbe doch nilpotente 2x2 matrizen mit p > 2. Der Widerspruch kommt doch zustande wenn ich versuche die Inverse der matrix



zu berechnen, da mit p > 2 nicht existiert oder?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich existiert die Matrix A^p auch für p>2.
Ich sehe auch nicht, dass diese Idee mit der inversen Matrix uns weiterhilft.

Da ich vermute, dass dir die Begriffe Polynomring, Ideal, Minimalpolynom eines Ideals, euklidischer Ring, nicht viel sagen, lasse ich den herkömmlichen Beweis weg und verweise dich, wenn du neugierig genug bist, auf Lehrbücher zur linearen Algebra.

Der Beweis ist für jemanden, der diese Begriffe noch nicht kennt, ziemlich schwer nachzuvollziehen, weil er einige Eigenschaften dieser Objekte und Strukturen verwendet.

Gruss,
SirJective
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du hasts erfasst, ich krieg immer viel zuwenig von mathe mit
(dabei meinen die meisten noch matheanteil im info studium is zu hoch)weswegen ich nächstes semester mathe im nebenfach belegen werde. Also wenn 2x2 nilpotente matrizen mit p> 2 existieren habe ich garkeine idee mehr wie ich die implikation

A^p = 0 => spur(a) = 0 bewiesen kann traurig , zumindest heut abend nicht mehr morgen is mein mathe tag da wird sich vieleicht noch einiges ergeben smile

folgende sachen weiß ich

spur(A) = spur (A^t)
spur(Ab) = spur(BA)
f: R^(NxN) -> R: A -> spur(A) ist linear
det(aA) <=> a^n*det(A) für a aus R
jede schiefsymmetrische matrix ungerader dimension besitz die determinante = 0

zu jeder schiefsymmetrischen matrix 2x2 existiert ein b >0 so das gilt

A² = -b*E

Die determinante einer Schiefsymmetrischen matrix ist stets positiv

Diese sachen hab ich alle im vorherein bewiesen, (normal bauen unsere übungsblätter einander auf ), vieleicht helfen die sachen ja

Hm, ich hab jetzt nochmal drüber nachgedacht, aber ich komm auf keinen grünenzweig

det(A) = 0 und A^p = 0 => spur(A) = 0

Ich hab keine ahnung mehr, was noch funktionieren könnte, mit ceyley komm ich zumindest nicht weiter...
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